6.4. SÉRTES D'EISENSTEIN
169
(3) En déduire que pour v fixé, la fonction g(y) = f (v,y) est une solution de
l'équation différentielle ordinaire du second ordre
(4) Démontrer que h(y) = \/Yg(y) est solution de l'équation différentielle
où h = s (1 - s ) , v = s - 1/2, et décroît exponentiellement à l'infini.
(5) Démontrer que l'espace des solutions bornées de cette dernière équation différentielle est de dimension 1 [Indication : Étudier le wronskien
W(y) = det
de deux solutions fi et f2.]
(6) Justifier par conséquent que la fonction (6.23) est un multiple de celle apparaissant dans la preuve de la Proposition 6.3.8.
('7) Démontrer qu'il y a même égalité, c'est-à-dire que gn (y) = g(2xnly) vérifie
gn (y) N e-2"lnlJ quand y + +m.
6.4. Séries d'Eisenstein
La première étape pour la décomposition de L*(T\H) est de construire des éléments y appartenant. La seule méthode « évidente » est basée sur l'idée de moyennisation, et est similaire à ce qui se passe dans la formule de Poisson (Proposition 2.5.1).
Plutôt que de sommer une fonction f sur tout ï, on peut également sommer une
fonction qui est déjà ïl -invariante sur Tl \I', où ïl < ï est un sous-groupe quelconque
(cf: aussi la série de Poincaré Ph).
Définition 6.4.1. - Soit + : ]O, +oo [ + C une fonction Cm à support compact. Soit a
une pointe de ï. La série d'Eisenstein incomplète définie par + et a est la fonction
Lemme 6.4.2. - Pour toute fonction test + et toute pointe a, o n a Ea (-; +) E L3(T), e n
particulier E, (.; +) E L~ ( ï \ H ) .
Démonstration. - Formellement, il est clair que si la série converge, elle définira une
fonction ï-invariante pour la raison ci-dessus : la fonction dont on fait la moyenne
est ï,-invariante : si y = ryl avec r E Ta, on a o;'roa E Tm par (6.18) et donc
SOCIÉTÉ MATHEMATIQUE DE FRANCE 2004
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(3) En déduire que pour v fixé, la fonction g(y) = f (v,y) est une solution de
l'équation différentielle ordinaire du second ordre
(4) Démontrer que h(y) = \/Yg(y) est solution de l'équation différentielle
où h = s (1 - s ) , v = s - 1/2, et décroît exponentiellement à l'infini.
(5) Démontrer que l'espace des solutions bornées de cette dernière équation différentielle est de dimension 1 [Indication : Étudier le wronskien
W(y) = det
de deux solutions fi et f2.]
(6) Justifier par conséquent que la fonction (6.23) est un multiple de celle apparaissant dans la preuve de la Proposition 6.3.8.
('7) Démontrer qu'il y a même égalité, c'est-à-dire que gn (y) = g(2xnly) vérifie
gn (y) N e-2"lnlJ quand y + +m.
6.4. Séries d'Eisenstein
La première étape pour la décomposition de L*(T\H) est de construire des éléments y appartenant. La seule méthode « évidente » est basée sur l'idée de moyennisation, et est similaire à ce qui se passe dans la formule de Poisson (Proposition 2.5.1).
Plutôt que de sommer une fonction f sur tout ï, on peut également sommer une
fonction qui est déjà ïl -invariante sur Tl \I', où ïl < ï est un sous-groupe quelconque
(cf: aussi la série de Poincaré Ph).
Définition 6.4.1. - Soit + : ]O, +oo [ + C une fonction Cm à support compact. Soit a
une pointe de ï. La série d'Eisenstein incomplète définie par + et a est la fonction
Lemme 6.4.2. - Pour toute fonction test + et toute pointe a, o n a Ea (-; +) E L3(T), e n
particulier E, (.; +) E L~ ( ï \ H ) .
Démonstration. - Formellement, il est clair que si la série converge, elle définira une
fonction ï-invariante pour la raison ci-dessus : la fonction dont on fait la moyenne
est ï,-invariante : si y = ryl avec r E Ta, on a o;'roa E Tm par (6.18) et donc
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