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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
si Re (s) = 1/2. Cela motive d'écrire aussi parfois s = 1/2 + it, avec t E C, de sorte
que h = 1/4 + t2, et h 2 O équivaut à t E R ou bien t = ir avec r E [-1/2,1/2].
Le « spectre » semble se décomposer en deux parties : Re(s) = 1/2 (ou t E R,
ou A 2 1/4) et s E [O,1] (ou t = ir, r E ] - 1/2,1/2[, ou O < h < 1/4). Onverra
que ceci correspond effectivement à un phénomène important et n'est pas seulement
une coïncidence.
Curollaire 6.3.1 1. - Soit f E dm (ï) n d p (ï) telle que A f = h f avec h = s (1 - s) ,
Re (s) 2 1/2. Alors f E L2 (TJH) si et seulement si, pour toute pointe a de r on a bJa (O) = O
et, soit 1/2 < s < 1, soit CJ, (O) = 0.
Démonstration. - D'après le Lemme 6.3.7 et la remarque ci-dessus, il faut que h 2 0,
donc s E [O, 11 ou Re(s) = 1/2.
Soit Y , C et Fa (Y ) donnés par la Proposition 6.3.4. Comme C est compacte,
f E L2 équivaut à f 1 Fa (Y ) E L2 (Fa (Y ) ) pour toute pointe (noter qu'ici on voit bien f
comme définie sur H), ou bien à fa E L2 (Fm ( Y ) ) pour toute a . Mais on peut appliquer le développement (6.22) pour la pointe a , et remarquer que la série sur
n # O définit une fonction (disons ga) telle que ga E L ~ ( F ~
( Y ) ) (mais ga n'est pas
automorphe en général). On a donc fa E L2(Fm (Y ) ) si et seulement si
Notons o = Re(s) comme habituellement. On a alors
Intégrant pour y 2 Y > O par rapport à dy/y2, on voit que le troisième terme
doit être nul. Alors pour que le premier soit intégrable, il faut bJa(0) = O ou bien
2- 20 > 1, soit o < 1/2 : cette dernière condition contredit la normalisation o 2 1/2,
et donc bha (O) = 0.
Enfin le second terme, s'il est présent, est intégrable si et seulement si 20 > 1, ce
qui donne la dernière possibilité.
O
Exercice 6.3.12. - Soit f (v, y) la fonction donnée par (6.23) :
(1) Démontrer que ceci définit pour tout v E C une fonction f (v, .) de classe Cm
sur ] 0, +oo [.
(2) Démontrer la relation de récurrence pour tout v et tout y > O
[Indication : Faire une intégration par partie.]
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
si Re (s) = 1/2. Cela motive d'écrire aussi parfois s = 1/2 + it, avec t E C, de sorte
que h = 1/4 + t2, et h 2 O équivaut à t E R ou bien t = ir avec r E [-1/2,1/2].
Le « spectre » semble se décomposer en deux parties : Re(s) = 1/2 (ou t E R,
ou A 2 1/4) et s E [O,1] (ou t = ir, r E ] - 1/2,1/2[, ou O < h < 1/4). Onverra
que ceci correspond effectivement à un phénomène important et n'est pas seulement
une coïncidence.
Curollaire 6.3.1 1. - Soit f E dm (ï) n d p (ï) telle que A f = h f avec h = s (1 - s) ,
Re (s) 2 1/2. Alors f E L2 (TJH) si et seulement si, pour toute pointe a de r on a bJa (O) = O
et, soit 1/2 < s < 1, soit CJ, (O) = 0.
Démonstration. - D'après le Lemme 6.3.7 et la remarque ci-dessus, il faut que h 2 0,
donc s E [O, 11 ou Re(s) = 1/2.
Soit Y , C et Fa (Y ) donnés par la Proposition 6.3.4. Comme C est compacte,
f E L2 équivaut à f 1 Fa (Y ) E L2 (Fa (Y ) ) pour toute pointe (noter qu'ici on voit bien f
comme définie sur H), ou bien à fa E L2 (Fm ( Y ) ) pour toute a . Mais on peut appliquer le développement (6.22) pour la pointe a , et remarquer que la série sur
n # O définit une fonction (disons ga) telle que ga E L ~ ( F ~
( Y ) ) (mais ga n'est pas
automorphe en général). On a donc fa E L2(Fm (Y ) ) si et seulement si
Notons o = Re(s) comme habituellement. On a alors
Intégrant pour y 2 Y > O par rapport à dy/y2, on voit que le troisième terme
doit être nul. Alors pour que le premier soit intégrable, il faut bJa(0) = O ou bien
2- 20 > 1, soit o < 1/2 : cette dernière condition contredit la normalisation o 2 1/2,
et donc bha (O) = 0.
Enfin le second terme, s'il est présent, est intégrable si et seulement si 20 > 1, ce
qui donne la dernière possibilité.
O
Exercice 6.3.12. - Soit f (v, y) la fonction donnée par (6.23) :
(1) Démontrer que ceci définit pour tout v E C une fonction f (v, .) de classe Cm
sur ] 0, +oo [.
(2) Démontrer la relation de récurrence pour tout v et tout y > O
[Indication : Faire une intégration par partie.]
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