du comportement à l'infini. Précisément, quand y + +CO, les solutions deviennent
asymptotiquement équivalentes à celles de l'équation
2 2
g" + 47r n g = 0,
qui sont de la forme g(y) = ae2xlnlJ' + pe-2"nl~. Cela permet de définir gl comme
l'unique solution de (6.27) telle que
gl (y) e-2Tlnl~ quand y -+ +m
et 92 comme l'unique solution telle que
g2 (y) e2nlnly quand y + +m.
La condition f E MP(T) cependant exclut que b~,(n;y) puisse faire intervenir la solution exponentiellement croissante à l'infini. Il existe donc une constante
bja (n) E C telle que (après normalisation pour des raisons historiques)
ce qui donne (6.22). La formule (6.23) est l'une des nombreuses expressions disponibles pour la fonction de Bessel, cf. l'Exercice 6.3.12 ci-dessous.
Enfin, pour estimer les coefficients bLa (n) , on écrit la formule
valable pour tout y > O. Puisque fa (x + iy) est à croissance polynomiale (aussi pour
y + 0) il vient
pour une certaine constante A. Prenant y = ~nl-', on obtient bien (6.24).
0
Remarque 6.3.9. - On isole de la preuve l'estimation suivante sur la fonction de Bessel, qui est souvent tout ce qu'il est nécessaire de savoir :
(6.28)
Kv (y) = O (y-'/2e-~)
pour v fixé et y -+ +m
Remarque 6.3.10. - En raison du développement (6.22)' il est habituel d'écrire A =
s (1 - s) . L'application s H A est un « revêtement à deux feuillets » ramifié en s = 1/2,
c'est-à-dire que pour s # 1/2, à chaque A correspondent exactement deux valeurs
s et 1 - s, alors que s = 1/2 est l'unique valeur correspondant à 1/4. Quand on
veut choisir une valeur de s bien définie, on peut demander que Re(s) > 1/2, et
Im (s) 2 O pour Re (s) = 1/2.
Au vu du Lemme 6.3.7, il est important de savoir à quelle condition correspond
A 2 O. On s'aperçoit rapidement que c'est le cas si et seulement si s E [O, 11 ou bien
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
asymptotiquement équivalentes à celles de l'équation
2 2
g" + 47r n g = 0,
qui sont de la forme g(y) = ae2xlnlJ' + pe-2"nl~. Cela permet de définir gl comme
l'unique solution de (6.27) telle que
gl (y) e-2Tlnl~ quand y -+ +m
et 92 comme l'unique solution telle que
g2 (y) e2nlnly quand y + +m.
La condition f E MP(T) cependant exclut que b~,(n;y) puisse faire intervenir la solution exponentiellement croissante à l'infini. Il existe donc une constante
bja (n) E C telle que (après normalisation pour des raisons historiques)
ce qui donne (6.22). La formule (6.23) est l'une des nombreuses expressions disponibles pour la fonction de Bessel, cf. l'Exercice 6.3.12 ci-dessous.
Enfin, pour estimer les coefficients bLa (n) , on écrit la formule
valable pour tout y > O. Puisque fa (x + iy) est à croissance polynomiale (aussi pour
y + 0) il vient
pour une certaine constante A. Prenant y = ~nl-', on obtient bien (6.24).
0
Remarque 6.3.9. - On isole de la preuve l'estimation suivante sur la fonction de Bessel, qui est souvent tout ce qu'il est nécessaire de savoir :
(6.28)
Kv (y) = O (y-'/2e-~)
pour v fixé et y -+ +m
Remarque 6.3.10. - En raison du développement (6.22)' il est habituel d'écrire A =
s (1 - s) . L'application s H A est un « revêtement à deux feuillets » ramifié en s = 1/2,
c'est-à-dire que pour s # 1/2, à chaque A correspondent exactement deux valeurs
s et 1 - s, alors que s = 1/2 est l'unique valeur correspondant à 1/4. Quand on
veut choisir une valeur de s bien définie, on peut demander que Re(s) > 1/2, et
Im (s) 2 O pour Re (s) = 1/2.
Au vu du Lemme 6.3.7, il est important de savoir à quelle condition correspond
A 2 O. On s'aperçoit rapidement que c'est le cas si et seulement si s E [O, 11 ou bien
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