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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
où bJa (n) , cga (O) E C et s (1 - s) = A. La fonction Kv (y) est la fonction dite de BesselMacDonald donnée par
1
K. (y) = - Io exp (- (t + i)) t-'-'dt.
2
Si s = 1 / 2, c'est-à-dire A = 1 /4, il faut remplacer
par 0 log y .
De plus, il existe A > O dépendant de f tel que
(6.24)
b ~ a
(n) < nA pour n # O.
Noter qu'il n'est pas du tout nécessaire d'avoir A O ici car f & L~ en général : on
verra plus bas des exemples importants de fonctions vérifiant A f = A f avec A E C - R.
Démonstration. - La fonction fa vérifie, par construction, fa (z + 1) = fa (z) . Comme
elle est Cm, elle admet donc un développement de Fourier convergeant absolument
et uniformément sur les compacts donné par
avec des coefficients de Fourier (dépendant de y ) donnés par
qui sont également des fonctions Cm sur ] 0, +oo [ .
Par SL (2, R) -invariance du laplacien on a A fa = A fa. On peut dériver terme à
terme pour calculer A b , ce qui donne (séparation de variables)
Par unicité du développement de Fourier, l'équation A fa = A fa équivaut au fait que
bLa (n; .) est solution de l'équation différentielle ordinaire du second ordre
pour tout n E Z. On exploite alors la théorie de ces équations différentielles pour
préciser la forme du développement de Fourier : pour chaque n, l'espace vectoriel
des solutions est de dimension 2. Pour n = 0, l'équation est
que l'on résout facilement en g(y) = cxyS + pyl-' avec s ( l - s ) = A , si s # 1/2, et
g(y) = a d + p\/Y1ogy si s = m .
Si n # 0, l'équation (6.27) est une équation du type de Bessel. Deux solutions
linéairement indépendantes sont données par
g1 (Y) = m ~ s - 1 / 2 ( 2 7 + 4 ~ )
et g2 (Y) = \/2;;i;;ii1s-l/2(2nlnly)
ou K et I sont des fonctions de Bessel de seconde espèce. On peut prendre cela
comme une simple définition ; ce qui permet de distinguer ces solutions est l'analyse
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
où bJa (n) , cga (O) E C et s (1 - s) = A. La fonction Kv (y) est la fonction dite de BesselMacDonald donnée par
1
K. (y) = - Io exp (- (t + i)) t-'-'dt.
2
Si s = 1 / 2, c'est-à-dire A = 1 /4, il faut remplacer
par 0 log y .
De plus, il existe A > O dépendant de f tel que
(6.24)
b ~ a
(n) < nA pour n # O.
Noter qu'il n'est pas du tout nécessaire d'avoir A O ici car f & L~ en général : on
verra plus bas des exemples importants de fonctions vérifiant A f = A f avec A E C - R.
Démonstration. - La fonction fa vérifie, par construction, fa (z + 1) = fa (z) . Comme
elle est Cm, elle admet donc un développement de Fourier convergeant absolument
et uniformément sur les compacts donné par
avec des coefficients de Fourier (dépendant de y ) donnés par
qui sont également des fonctions Cm sur ] 0, +oo [ .
Par SL (2, R) -invariance du laplacien on a A fa = A fa. On peut dériver terme à
terme pour calculer A b , ce qui donne (séparation de variables)
Par unicité du développement de Fourier, l'équation A fa = A fa équivaut au fait que
bLa (n; .) est solution de l'équation différentielle ordinaire du second ordre
pour tout n E Z. On exploite alors la théorie de ces équations différentielles pour
préciser la forme du développement de Fourier : pour chaque n, l'espace vectoriel
des solutions est de dimension 2. Pour n = 0, l'équation est
que l'on résout facilement en g(y) = cxyS + pyl-' avec s ( l - s ) = A , si s # 1/2, et
g(y) = a d + p\/Y1ogy si s = m .
Si n # 0, l'équation (6.27) est une équation du type de Bessel. Deux solutions
linéairement indépendantes sont données par
g1 (Y) = m ~ s - 1 / 2 ( 2 7 + 4 ~ )
et g2 (Y) = \/2;;i;;ii1s-l/2(2nlnly)
ou K et I sont des fonctions de Bessel de seconde espèce. On peut prendre cela
comme une simple définition ; ce qui permet de distinguer ces solutions est l'analyse