(4) On note
le domaine du laplacien automorphe.
Noter que le laplacien hyperbolique A définit des applications linéaires
Mm ( r ) -+ d m ( r ) et 9- ( r ) --+ 9 ( r ) .
On remarque aussi que puisque Vol(T\H) < +CO, on a Lm (I'\H) c L2 (T\H)
et en particulier 9 ( T ) c L~ (I'\H). Cela s'avère important : agissant ainsi sur un
sous-espace de L2, le laplacien a des propriétés assez différentes de ses propriétés
purement formelles comme simple opérateur différentiel. C'est une des clés de la
décomposition spectrale.
Lemme 6.3.7. - Lbpbateur A est symétrique positif sur 9 (T) . Précisément on a
pour f , g E 9 (T) , où V f = (&f, ôy f ) et le produit scalaire dans l'intégrale est le produit
scalaire usuel dans c 2 . E n particulier on a
La preuve peut soit provenir des faits généraux de géométrie riemannienne, soit
s'obtenir à l'aide de la formule de Stokes et d'une petite analyse du bord du domaine
fondamental F (pour démontrer que la contribution correspondante est nulle), qu'il
faut alors avoir choisi convenablement (cf: [Iw4, 4.11).
C'est ce lemme associé à un résultat d'analyse fonctionnelle (théorème de Friedrich~) qui permet de dire que A admet une extension auto-adjointe, de définir le
spectre de A , et de conclure que ce spectre est un sous-ensemble de [O, +CO [ par positivité. En particulier, si f E L~ (T\H) est dans g (T) , non nulle, et vérifie A f = A f ,
alors h 2 0.
Nous étudions maintenant les valeurs propres du laplacien automorphe en exploitant la présence des pointes, et des stabilisateurs Ta correspondant : on peut décrire explicitement les conditions que l'invariance par Ta < ï , et le fait de satisfaire
A f = h f , imposent sur f .
Avposition 6.3.8. - Soit f E dm (I') n & ( ï ) et a une pointe de I'. Supposons que
A f = h f avec h E C. O n a alors un déoeloppement convergeant absolument et uniformément
sur les compacts
S O C I É ~
MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
le domaine du laplacien automorphe.
Noter que le laplacien hyperbolique A définit des applications linéaires
Mm ( r ) -+ d m ( r ) et 9- ( r ) --+ 9 ( r ) .
On remarque aussi que puisque Vol(T\H) < +CO, on a Lm (I'\H) c L2 (T\H)
et en particulier 9 ( T ) c L~ (I'\H). Cela s'avère important : agissant ainsi sur un
sous-espace de L2, le laplacien a des propriétés assez différentes de ses propriétés
purement formelles comme simple opérateur différentiel. C'est une des clés de la
décomposition spectrale.
Lemme 6.3.7. - Lbpbateur A est symétrique positif sur 9 (T) . Précisément on a
pour f , g E 9 (T) , où V f = (&f, ôy f ) et le produit scalaire dans l'intégrale est le produit
scalaire usuel dans c 2 . E n particulier on a
La preuve peut soit provenir des faits généraux de géométrie riemannienne, soit
s'obtenir à l'aide de la formule de Stokes et d'une petite analyse du bord du domaine
fondamental F (pour démontrer que la contribution correspondante est nulle), qu'il
faut alors avoir choisi convenablement (cf: [Iw4, 4.11).
C'est ce lemme associé à un résultat d'analyse fonctionnelle (théorème de Friedrich~) qui permet de dire que A admet une extension auto-adjointe, de définir le
spectre de A , et de conclure que ce spectre est un sous-ensemble de [O, +CO [ par positivité. En particulier, si f E L~ (T\H) est dans g (T) , non nulle, et vérifie A f = A f ,
alors h 2 0.
Nous étudions maintenant les valeurs propres du laplacien automorphe en exploitant la présence des pointes, et des stabilisateurs Ta correspondant : on peut décrire explicitement les conditions que l'invariance par Ta < ï , et le fait de satisfaire
A f = h f , imposent sur f .
Avposition 6.3.8. - Soit f E dm (I') n & ( ï ) et a une pointe de I'. Supposons que
A f = h f avec h E C. O n a alors un déoeloppement convergeant absolument et uniformément
sur les compacts
S O C I É ~
MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004