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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DECOMPOSITION SPECTRALE
Il est recommandé de lire d'abord les énoncés faisant intervenir des pointes arbitraires en posant a = co : le sens devient souvent plus clair en première lecture.
La matrice oa permet de présenter uniformément des notions relatives à toutes les
pointes à partir du cas de a = m. En particulier, utilisant le paramètre évident y qui
détermine le « voisinage de oo », on peut isoler une « partie compacte » de ï \ H .
Proposition 6.3.4. - Soit ï comme ci-dessus, F un domaine fondamental pour I'. Il existe
Y = Y (ï) > O tel que, notant
Fa(Y) = {z E F 1 1rn(o~'r) > Y}
pour toute pointe a de ï, les ouverts Fa (Y ) sont disjoints et
avec C compact.
Noter que Fa (Y ) est bien défini sans ambiguïté par (6.19) car Im(.ctz) = Im(x)
pour toute translation.
Exemple 6.3.5. - Si ï = ïo(d) avec d 2 1, et
Fi étant le domaine fondamental de la Proposition 6.1.4 pour SL(2, Z) = ïo(l) , on
peut prendre Y = 2 par exemple (voir le dessin de Fi ) .
Nous considérons maintenant divers espaces de fonctions ï-périodiques, suivant
leur régularité ou leur croissance aux voisinages des pointes. Pour une fonction f :
H t C et une pointe a, on note
de sorte que le comportement pour z t co de fa reflète celui de f pour z t a.
DéJintion 6.3.6. - Soit r comme ci-dessus.
(1) On note
d(ï) = d ( I ' \ H ) = {f : H t C 1 f(yz) = f ( z ) pour touty ~ ï ) ,
l'espace des fonctions ï-périodiques.
(2) On note
dm (ï) = dm ( ï \ H ) = { f E d ( r ) 1 f est Cm)
l'espace des fonctions I'-périodiques lisses.
(3) On note
(6.21) d P ( ï ) = d P ( ï \ ~ ) =
{ f E d (î) 1 Il existe N > O tel que fa (e) « YN pour toute a et tout y 2 Y (ï) },
l'espace des fonctions automorphes pour ï (à croissance modérée en toute pointe).
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