Rappelons que les éléments paraboliques sont définis (Définition 6.2.7) comme
étant ceux agissant avec un unique point fixe dans R U {CO).
Démonstration. - Tout d'abord, on prend le début du point (1) comme définition
rigoureuse des pointes, plutôt que la description géométrique précédente basée sur
un domaine fondamental.
Ce point (1) devient alors facile à vérifier directement pour ï = SL(2, Z) (il y a
une seule pointe CO sur le domaine fondamental de la Proposition 6.1.4, (3), et
l'ensemble des éléments paraboliques de SL (2, Z) est f B - {f 1) ) . Ce calcul peut
s'étendre au cas de To (d) qui nous intéresse (voir par exemple [Iw4, p. 481 pour la
description des pointes dans ce cas).
Dans le cas général, par contre, ce point (1) est un théorème assez délicat de
Siegel [Si2, p. 75-77' ] (en particulier la finitude du nombre de pointes).
(2) et (3) Soit G = SL(2, R) ; si a est une pointe, soit y un élément parabolique
fixant a. Il existe o E G tel que ooo = a et alors
(puisque y m = a/c pour y comme en (6.16)) et o-lyo est un élément parabolique
donc de la forme
Comme o-'Tao doit être discret, on vérifie aussitôt qu'il doit être de la forme
par exemple en utilisant la formule
Cela donne (2) et le début de (3). L'unicité de oa est claire.
O
Exemple 6.3.3. - Si r = SL(2, Z) , les points fixes d'éléments paraboliques sont forcément dans Q U {CO) puisque si
ax + b = z
cx + d
a une unique solution, celle-ci est rationnelle ou + m . Toutes ces pointes sont réquivalentes, puisque yoo = a/c parcourt tout Q.
Dans ce cas, si l'on prend la pointe a = oo comme représentant, son stabilisateur
est le sous-groupe des translations entières (cJ: (6.9)) « au signe près D
c'est-à-dire que o, = Id convient.
étant ceux agissant avec un unique point fixe dans R U {CO).
Démonstration. - Tout d'abord, on prend le début du point (1) comme définition
rigoureuse des pointes, plutôt que la description géométrique précédente basée sur
un domaine fondamental.
Ce point (1) devient alors facile à vérifier directement pour ï = SL(2, Z) (il y a
une seule pointe CO sur le domaine fondamental de la Proposition 6.1.4, (3), et
l'ensemble des éléments paraboliques de SL (2, Z) est f B - {f 1) ) . Ce calcul peut
s'étendre au cas de To (d) qui nous intéresse (voir par exemple [Iw4, p. 481 pour la
description des pointes dans ce cas).
Dans le cas général, par contre, ce point (1) est un théorème assez délicat de
Siegel [Si2, p. 75-77' ] (en particulier la finitude du nombre de pointes).
(2) et (3) Soit G = SL(2, R) ; si a est une pointe, soit y un élément parabolique
fixant a. Il existe o E G tel que ooo = a et alors
(puisque y m = a/c pour y comme en (6.16)) et o-lyo est un élément parabolique
donc de la forme
Comme o-'Tao doit être discret, on vérifie aussitôt qu'il doit être de la forme
par exemple en utilisant la formule
Cela donne (2) et le début de (3). L'unicité de oa est claire.
O
Exemple 6.3.3. - Si r = SL(2, Z) , les points fixes d'éléments paraboliques sont forcément dans Q U {CO) puisque si
ax + b = z
cx + d
a une unique solution, celle-ci est rationnelle ou + m . Toutes ces pointes sont réquivalentes, puisque yoo = a/c parcourt tout Q.
Dans ce cas, si l'on prend la pointe a = oo comme représentant, son stabilisateur
est le sous-groupe des translations entières (cJ: (6.9)) « au signe près D
c'est-à-dire que o, = Id convient.