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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Nous renvoyons à [Iw4, App. A] pour un survol des définitions qui interviennent.
Pour notre propos, qui n'est pas de donner des démonstrations complètes, nous n'entrerons pas dans ces détails, aussi important soient-ils : une fois le théorème de décomposition énoncé, avec quelques résultats de base sur les fonctions qui y interviennent,
on peut le prendre comme « boîte noire » très efficacement. (De même, il n'est pas
fréquent de construire la théorie des opérateurs non bornés pour démontrer que la
transformée de Fourier existe et est une isomé trie de L~ (R) . . .)
On va donc étudier la décomposition spectrale du laplacien hyperbolique A
agissant sur les fonctions I'-périodiques de carré intégrable, et cela fournira une
« bonne base » de L ~ ( T \ H ) .
Noter que l'aire du domaine fondamental étant finie,
les constantes sont de carré intégrable.
Le défaut de compacité de I'\H se « lit >> sur le domaine fondamental F par la
présence d'un nombre fini de << pointes » a , c'est-à-dire de points où F touche le bord
RU{+oo}. Une grande partie de l'étude qui suit relevant de l'étude du comportement
à l'infini, c'est-à-dire au voisinage de ces pointes, nous commençons par un lemme
résumant leurs proprié tés.
Dans ce qui suit la légère distinction entre matrices et isométries, due au fait que
- 1 agit trivialement, nécessite un peu de soin. On appliquera la convention suivante :
pour tout sous-groupe T < SL(2,R) (pas nécessairement discret), r désigne son
image dans PSL(2, R) . On a donc
E
si - 1 T et I' E {&l)T si - 1 E Ti
Noter par exemple que -1 E To (d) pour tout d 2 1, et qu'on rencontrera donc
effectivement cette distinction. Le groupe Tm N B E Z des translations entières
($ (6.9)) sera particulièrement important pour la discussion des pointes.
Lemme 6.3.2. - Soit I' < SL(2, R) tel que le volume d u quotient T\H soitjini.
(1) Les pointes de ï sont en bijection avec l'ensemble des points de R U {KI} fixés par un
élément parabolique de T. Il n ) a qu'un nombrejini de pointes modulo T.
(2) Pour toute pointe n de T, le stabilisateur
ru = {y E ï 1 ya = a)
est isomorphe à Z ou 2/22 x Z suivant que -1 & T ou - 1 E T, respectivement; 17image ru
de Ta dans PSL (2, R) est toujours isomorphe à Z .
(3) Soit a une pointe, y, un géni-rateur de Ta. Il existe une matrice oa E SL(2, R) telle
que
de plus toute autre matrice a v&$ant ces deux propriétés est de la forme
o = koa-ct avec t E R et T~ =
( O :) -
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Nous renvoyons à [Iw4, App. A] pour un survol des définitions qui interviennent.
Pour notre propos, qui n'est pas de donner des démonstrations complètes, nous n'entrerons pas dans ces détails, aussi important soient-ils : une fois le théorème de décomposition énoncé, avec quelques résultats de base sur les fonctions qui y interviennent,
on peut le prendre comme « boîte noire » très efficacement. (De même, il n'est pas
fréquent de construire la théorie des opérateurs non bornés pour démontrer que la
transformée de Fourier existe et est une isomé trie de L~ (R) . . .)
On va donc étudier la décomposition spectrale du laplacien hyperbolique A
agissant sur les fonctions I'-périodiques de carré intégrable, et cela fournira une
« bonne base » de L ~ ( T \ H ) .
Noter que l'aire du domaine fondamental étant finie,
les constantes sont de carré intégrable.
Le défaut de compacité de I'\H se « lit >> sur le domaine fondamental F par la
présence d'un nombre fini de << pointes » a , c'est-à-dire de points où F touche le bord
RU{+oo}. Une grande partie de l'étude qui suit relevant de l'étude du comportement
à l'infini, c'est-à-dire au voisinage de ces pointes, nous commençons par un lemme
résumant leurs proprié tés.
Dans ce qui suit la légère distinction entre matrices et isométries, due au fait que
- 1 agit trivialement, nécessite un peu de soin. On appliquera la convention suivante :
pour tout sous-groupe T < SL(2,R) (pas nécessairement discret), r désigne son
image dans PSL(2, R) . On a donc
E
si - 1 T et I' E {&l)T si - 1 E Ti
Noter par exemple que -1 E To (d) pour tout d 2 1, et qu'on rencontrera donc
effectivement cette distinction. Le groupe Tm N B E Z des translations entières
($ (6.9)) sera particulièrement important pour la discussion des pointes.
Lemme 6.3.2. - Soit I' < SL(2, R) tel que le volume d u quotient T\H soitjini.
(1) Les pointes de ï sont en bijection avec l'ensemble des points de R U {KI} fixés par un
élément parabolique de T. Il n ) a qu'un nombrejini de pointes modulo T.
(2) Pour toute pointe n de T, le stabilisateur
ru = {y E ï 1 ya = a)
est isomorphe à Z ou 2/22 x Z suivant que -1 & T ou - 1 E T, respectivement; 17image ru
de Ta dans PSL (2, R) est toujours isomorphe à Z .
(3) Soit a une pointe, y, un géni-rateur de Ta. Il existe une matrice oa E SL(2, R) telle
que
de plus toute autre matrice a v&$ant ces deux propriétés est de la forme
o = koa-ct avec t E R et T~ =
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