Reste à expliquer pourquoi les fonctions en (resp. et) ci-dessus sont naturelles,
et comment en chercher les analogues dans notre situation. Les fonctions exponentielles sont distinguées, dans le cas de R/Z, comme étant des caractères, c'est-à-dire des
homomorphismes de groupes R/Z + C X . Dans le cas de R, les homomorphismes
R -+ CX sont les exponentielles eu pour tout a E C. Cependant, seules les exponentielles « unitaires >> eu avec a E R (où unitaire se réfère au fait que lea (x) 1 = 1 pour
tout x E R) interviennent dans la formule d'inversion pour f E L2 (R) . Une manière
de comprendre cela est de remarquer que, bien que eu & L2 (R) pour tout a E C , les
exponentielles unitaires sont « les plus proches d'être dans L2. >> Comme justification,
on peut dire que ce sont les seules qui sont bornées sur R puisque
L'analogue le plus proche des caractères R + CX ou R/Z -+ CX ci-dessus serait fourni par les représentations (unitaires) sphériques de SL (2, R) apparaissant
dans la représentation régulière sur L2 (I'\SL(2, R ) ) ; c'est le point de vue original de
Gelfand-Graev-Piatetskii-Shapiro, et de Jacquet-Langlands, qui est à la source des
généralisations en dimension supérieure; cf: par exemple [Bor] ou [Bu] pour des
introductions. Ce point de vue n'est cependant pas nécessaire pour nous, et il est
historiquement postérieur aux notions qui suivent, dues à Maass et Selberg essentiellement(3). L'autre propriété caractéristique des exponentielles, qui sera plus facile à
généraliser à T\H, est qu'elles sont fonctions propres du laplacien ordinaire, c'est-àdire simplement de l'opérateur A = -d2/dx2 agissant sur les fonctions de classe c 2 .
On a en effet
Ata = 4rr2a2e,.
Les exponentielles unitaires ont alors la propriété que la valeur propre correspondante 4rr2a2 est un réel 2 O. Or A étant un opérateur auto-adjoint sur L2, ses valeurs
propres doivent être positives.
On peut deviner que le bon cadre pour comprendre ce type de question (de la façon la plus abstraite en tout cas) est celui des opérateurs linéaires non bornés définis
sur un sous-espace dense d'un espace de Hilbert : c'est le cas de A, qui n'est certes
pas défini sur tout L2 ! Cette théorie définit le spectre d'un opérateur, qui généralise
l'ensemble des valeurs propres d'une matrice, et le décompose en spectre discret,
résiduel ou continu. Dans le cas de R/Z, le laplacien a un spectre purement discret,
ce qui correspond à de a vraies >> fonctions propres en E L2 (R/Z) ; dans le cas de R,
le laplacien a un spectre purement continu. Les fonctions propres n'existent pas au
sens littéral dans L2 (R), mais dans un sens approché. Cette dichotomie est directement liée au fait que R/Z est compact, alors que R ne l'est pas ; le mélange des deux
situations pour un espace comme X = SL(2, Z) \H est dû au fait que X est de volume
fini, mais non compact.
(3) es deux points de vue sont cependant, dans un certain sens, équivalents.
SOCIÉTE MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
et comment en chercher les analogues dans notre situation. Les fonctions exponentielles sont distinguées, dans le cas de R/Z, comme étant des caractères, c'est-à-dire des
homomorphismes de groupes R/Z + C X . Dans le cas de R, les homomorphismes
R -+ CX sont les exponentielles eu pour tout a E C. Cependant, seules les exponentielles « unitaires >> eu avec a E R (où unitaire se réfère au fait que lea (x) 1 = 1 pour
tout x E R) interviennent dans la formule d'inversion pour f E L2 (R) . Une manière
de comprendre cela est de remarquer que, bien que eu & L2 (R) pour tout a E C , les
exponentielles unitaires sont « les plus proches d'être dans L2. >> Comme justification,
on peut dire que ce sont les seules qui sont bornées sur R puisque
L'analogue le plus proche des caractères R + CX ou R/Z -+ CX ci-dessus serait fourni par les représentations (unitaires) sphériques de SL (2, R) apparaissant
dans la représentation régulière sur L2 (I'\SL(2, R ) ) ; c'est le point de vue original de
Gelfand-Graev-Piatetskii-Shapiro, et de Jacquet-Langlands, qui est à la source des
généralisations en dimension supérieure; cf: par exemple [Bor] ou [Bu] pour des
introductions. Ce point de vue n'est cependant pas nécessaire pour nous, et il est
historiquement postérieur aux notions qui suivent, dues à Maass et Selberg essentiellement(3). L'autre propriété caractéristique des exponentielles, qui sera plus facile à
généraliser à T\H, est qu'elles sont fonctions propres du laplacien ordinaire, c'est-àdire simplement de l'opérateur A = -d2/dx2 agissant sur les fonctions de classe c 2 .
On a en effet
Ata = 4rr2a2e,.
Les exponentielles unitaires ont alors la propriété que la valeur propre correspondante 4rr2a2 est un réel 2 O. Or A étant un opérateur auto-adjoint sur L2, ses valeurs
propres doivent être positives.
On peut deviner que le bon cadre pour comprendre ce type de question (de la façon la plus abstraite en tout cas) est celui des opérateurs linéaires non bornés définis
sur un sous-espace dense d'un espace de Hilbert : c'est le cas de A, qui n'est certes
pas défini sur tout L2 ! Cette théorie définit le spectre d'un opérateur, qui généralise
l'ensemble des valeurs propres d'une matrice, et le décompose en spectre discret,
résiduel ou continu. Dans le cas de R/Z, le laplacien a un spectre purement discret,
ce qui correspond à de a vraies >> fonctions propres en E L2 (R/Z) ; dans le cas de R,
le laplacien a un spectre purement continu. Les fonctions propres n'existent pas au
sens littéral dans L2 (R), mais dans un sens approché. Cette dichotomie est directement liée au fait que R/Z est compact, alors que R ne l'est pas ; le mélange des deux
situations pour un espace comme X = SL(2, Z) \H est dû au fait que X est de volume
fini, mais non compact.
(3) es deux points de vue sont cependant, dans un certain sens, équivalents.
SOCIÉTE MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004