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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
6.3. Formes automorphes : définitions de base
Comme référence pour la suite de ce chapitre, nous conseillons fortement [Iw4]
auquel nous référerons fréquemment pour les preuves complètes. Soit T < SL(2, R)
un sous-groupe discret tel que l'aire hyperbolique du quotient T\H soit finie :
Fr étant un domaine fondamental, fixé une fois pour toute, de T.
L'objet des paragraphes qui suit, par rapport au théorème principal, est de fournir
les outils permettant d'estimer la fonction Ph (x) (appelée une série de Poincaré) qui
est apparue dans la Section 6.1, pour tout x E H. Pour cela, l'idée est que Ph E
L2 (T\H) , et qu'on peut développer Ph dans une << bonne >> base orthonormée de cet
espace de Hilbert, puis estimer les coefficients apparaissant dans cette décomposition.
La question est de savoir quelle base choisir. Les deux exemples suivants justifient en
partie le chemin qui va être parcouru.
Exemple 6.3.1
(1) Soit X = R/Z : la situation est très analogue à ce qui précède puisque X
est un quotient d'un groupe << continu >> par un sous-groupe discret. Dans ce cas, la
<< bonne >> décomposition de L"R/Z) est donnée par les séries de Fourier
où e,(x) = e(ax) pour a E R. Les (en), n E Z, forment la base orthonormée recherchée de L2 (R/Z) .
(2) Soit X = R. Il n'y a pas ici de sous-groupe discret, et la théorie analogue prend
un autre aspect : il s'agit de la transformation de Fourier dans L2,
h
f (x) = J ?(t) e(xt) dt où f (t) = f (x) e(-xt) dx.
R
J R
h
Formellement, on peut écrire f (t) = (f 1 e t ) , mais une différence importante
avec le cas précédent est que et & L2 (R) , de sorte que cette expression est seulement
formelle. De fait, pour f E L2 (R) , l'intégrale de Fourier n'a pas de sens en général
et la théorie s'obtient par prolongement par continuité.
Il s'avérera que pour T\H, la décomposition obtenue pour une fonction f E
L ~ ( T \ H ) sera un mélange de ces deux exemples fondamentaux : une partie << discrète >> (analogue des séries de Fourier), faisant intervenir une base orthonormale
du sous-espace correspondant ; et une partie << continue >>, faisant intervenir des intégrales et en particulier des fonctions de base (les séries d'Eisenstein) qui ne sont pas
dans L2 (T\H) .
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
6.3. Formes automorphes : définitions de base
Comme référence pour la suite de ce chapitre, nous conseillons fortement [Iw4]
auquel nous référerons fréquemment pour les preuves complètes. Soit T < SL(2, R)
un sous-groupe discret tel que l'aire hyperbolique du quotient T\H soit finie :
Fr étant un domaine fondamental, fixé une fois pour toute, de T.
L'objet des paragraphes qui suit, par rapport au théorème principal, est de fournir
les outils permettant d'estimer la fonction Ph (x) (appelée une série de Poincaré) qui
est apparue dans la Section 6.1, pour tout x E H. Pour cela, l'idée est que Ph E
L2 (T\H) , et qu'on peut développer Ph dans une << bonne >> base orthonormée de cet
espace de Hilbert, puis estimer les coefficients apparaissant dans cette décomposition.
La question est de savoir quelle base choisir. Les deux exemples suivants justifient en
partie le chemin qui va être parcouru.
Exemple 6.3.1
(1) Soit X = R/Z : la situation est très analogue à ce qui précède puisque X
est un quotient d'un groupe << continu >> par un sous-groupe discret. Dans ce cas, la
<< bonne >> décomposition de L"R/Z) est donnée par les séries de Fourier
où e,(x) = e(ax) pour a E R. Les (en), n E Z, forment la base orthonormée recherchée de L2 (R/Z) .
(2) Soit X = R. Il n'y a pas ici de sous-groupe discret, et la théorie analogue prend
un autre aspect : il s'agit de la transformation de Fourier dans L2,
h
f (x) = J ?(t) e(xt) dt où f (t) = f (x) e(-xt) dx.
R
J R
h
Formellement, on peut écrire f (t) = (f 1 e t ) , mais une différence importante
avec le cas précédent est que et & L2 (R) , de sorte que cette expression est seulement
formelle. De fait, pour f E L2 (R) , l'intégrale de Fourier n'a pas de sens en général
et la théorie s'obtient par prolongement par continuité.
Il s'avérera que pour T\H, la décomposition obtenue pour une fonction f E
L ~ ( T \ H ) sera un mélange de ces deux exemples fondamentaux : une partie << discrète >> (analogue des séries de Fourier), faisant intervenir une base orthonormale
du sous-espace correspondant ; et une partie << continue >>, faisant intervenir des intégrales et en particulier des fonctions de base (les séries d'Eisenstein) qui ne sont pas
dans L2 (T\H) .
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