6.2. UNE PINCÉE DE GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE
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Voir [Iw4, Ch. 121 pour l'étude, très directement reliée à ce qui précède, des problèmes de comptage de points dans des réseaux hyperboliques, qui sont autrement
plus délicats que les problèmes correspondants dans R ~ .
Exercice 6.2.6. - Soit N (R) le nombre de points entiers (a, b) E z2 tels (a, b) E DR
où DR est le disque (euclidien) de centre O et de rayon R. Démontrer
par la méthode de Gauss en associant à chaque point entier le carré
et en estimant l'aire de la partie de la réunion des C(a,b) qui n'est pas dans D(R) .
Soit M (R) le nombre de y E SL(2, Z) tels que yi E D1(R), où D1(R) est le disque
hyperbolique de centre i et de rayon R. Peut-on appliquer un argument similaire
pour obtenir une évaluation asymptotique de M (R) ?
Nous terminons par une définition qui classifie les isométries de H en trois sousensembles.
DéJinition 6.2.7. - Notons a = H U R U {CO). L'action de G = SL (2, R) se prolonge
en une action sur a donnée par la même formule (6.6). Soit y E G, y # h l . On dit
que y est
(1) parabolique si y a un unique point fixe dans qui se trouve forcément sur
le « bord » R U (04.
(2) hyperbolique si y a deux points fixes dans le bord R U { C O ) .
(3) elliptique si y a un unique point fixe dans H.
Le fait que ces trois cas exhaustent toutes les possibilité est immédiat : avec y
comme en (6.16), l'équation yz = z est une équation de degré 2
dont le discriminant est (a - d) + 4bc = (a + d) - 4. S'il y a deux racines complexes,
c'est-à-dire si (Tr(y) ( < 2, on est dans le cas elliptique (une seule des racines est
dans H) ; s'il y a deux racines réelles, c'est-à-dire si 1 Tr(y) 1 > 2, on est dans le cas
hyperbolique, et le cas parabolique « limite » correspond à 1 Tr (y) 1 = 2.
Géométriquement, une application parabolique y agit par translation « horizontales » le long des cercles (« horocycles ») tangents au point fixe de y : quand celui-ci
est à l'infini, il s'agit des droites horizontales. Une application elliptique agit par rotation autour du point fixe dans H, et une application hyperbolique agit par dilatation
(par exemple z I + p z ) : l'un des points fixes est attractif et l'autre est répulsif.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUIS DE FRANCE 2004
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Voir [Iw4, Ch. 121 pour l'étude, très directement reliée à ce qui précède, des problèmes de comptage de points dans des réseaux hyperboliques, qui sont autrement
plus délicats que les problèmes correspondants dans R ~ .
Exercice 6.2.6. - Soit N (R) le nombre de points entiers (a, b) E z2 tels (a, b) E DR
où DR est le disque (euclidien) de centre O et de rayon R. Démontrer
par la méthode de Gauss en associant à chaque point entier le carré
et en estimant l'aire de la partie de la réunion des C(a,b) qui n'est pas dans D(R) .
Soit M (R) le nombre de y E SL(2, Z) tels que yi E D1(R), où D1(R) est le disque
hyperbolique de centre i et de rayon R. Peut-on appliquer un argument similaire
pour obtenir une évaluation asymptotique de M (R) ?
Nous terminons par une définition qui classifie les isométries de H en trois sousensembles.
DéJinition 6.2.7. - Notons a = H U R U {CO). L'action de G = SL (2, R) se prolonge
en une action sur a donnée par la même formule (6.6). Soit y E G, y # h l . On dit
que y est
(1) parabolique si y a un unique point fixe dans qui se trouve forcément sur
le « bord » R U (04.
(2) hyperbolique si y a deux points fixes dans le bord R U { C O ) .
(3) elliptique si y a un unique point fixe dans H.
Le fait que ces trois cas exhaustent toutes les possibilité est immédiat : avec y
comme en (6.16), l'équation yz = z est une équation de degré 2
dont le discriminant est (a - d) + 4bc = (a + d) - 4. S'il y a deux racines complexes,
c'est-à-dire si (Tr(y) ( < 2, on est dans le cas elliptique (une seule des racines est
dans H) ; s'il y a deux racines réelles, c'est-à-dire si 1 Tr(y) 1 > 2, on est dans le cas
hyperbolique, et le cas parabolique « limite » correspond à 1 Tr (y) 1 = 2.
Géométriquement, une application parabolique y agit par translation « horizontales » le long des cercles (« horocycles ») tangents au point fixe de y : quand celui-ci
est à l'infini, il s'agit des droites horizontales. Une application elliptique agit par rotation autour du point fixe dans H, et une application hyperbolique agit par dilatation
(par exemple z I + p z ) : l'un des points fixes est attractif et l'autre est répulsif.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUIS DE FRANCE 2004