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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
où cr, p, y sont les trois angles (rappelons que les angles hyperboliques coïncident
avec les angles euclidiens) aux sommets du triangle(2). Ici on a a = x/3, P = n/3,
y = O d'où le résultat de nouveau.
La non-compacité est évidente encore d'après la Proposition 6.1.4 : les points z, =
ni, n 2 1, par exemple, forment une suite de points dans F tels que d(z,, 2,) =
log m / n , donc qui n'admet pas de sous-suite de Cauchy.
C l
Si T est un sous-groupe discret de SL(2, R) et ï' < ï un sous-groupe d'indice fini,
il est encore discret et on a
vol (I?\H) = [ï' : ï] Vol (I'\H)
en particulier si ï \ H est de volume fini, il en est de même de T'\H. Pour ce qui nous
concerne, le cas particulier important est celui de ïo (d) < SL(2, Z) : avec le lemme
qui précède et le Lemme 6.1.9, on trouve que ïo (d) est un sous-groupe discret tel
que
et de plus To (d) \H est non compact (parce que « plus gros » que SL (2, Z) \H) .
Pour conclure, une remarque sur la nature de la géométrie hyperbolique par
rapport à la géométrie euclidienne. La définition même fait apercevoir un effet de
« concentration » qui est très visible en écrivant les inégalités isopérimétriques respectives dans le plan R~ et dans H. Soit D un ensemble compact connexe dont le bord
est une courbe C de classe c'. Alors, dans le plan, on a
où A est l'aire de D et L la longueur du périmètre C , avec égalité si et seulement si
D est un disque. Dans H, l'inégalité correspondante est
et il y a encore égalité pour les disques (hyperboliques). En particulier L A : la
longueur du périmètre est comparable à l'aire. Si l'on prend un disque D de grande
taille et U un voisinage « cylindrique » autour de C à distance 1
on trouve que l'aire de U est comparable à la longueur L. Dans le cas euclidien,
celle-ci est de l'ordre de fi, ce qui signifie que l'aire du disque est bien répartie
« uniformément » à l'intérieur, mais dans le cas hyperbolique, l'aire de U est du
même ordre de grandeur que celle de D : l'aire s'est concentrée sur le bord.
(*)En particulier si les trois sommets ne sont pas alignés, la somme des angles est < x .
COURS SPÉCLAL~SÉS 13
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
où cr, p, y sont les trois angles (rappelons que les angles hyperboliques coïncident
avec les angles euclidiens) aux sommets du triangle(2). Ici on a a = x/3, P = n/3,
y = O d'où le résultat de nouveau.
La non-compacité est évidente encore d'après la Proposition 6.1.4 : les points z, =
ni, n 2 1, par exemple, forment une suite de points dans F tels que d(z,, 2,) =
log m / n , donc qui n'admet pas de sous-suite de Cauchy.
C l
Si T est un sous-groupe discret de SL(2, R) et ï' < ï un sous-groupe d'indice fini,
il est encore discret et on a
vol (I?\H) = [ï' : ï] Vol (I'\H)
en particulier si ï \ H est de volume fini, il en est de même de T'\H. Pour ce qui nous
concerne, le cas particulier important est celui de ïo (d) < SL(2, Z) : avec le lemme
qui précède et le Lemme 6.1.9, on trouve que ïo (d) est un sous-groupe discret tel
que
et de plus To (d) \H est non compact (parce que « plus gros » que SL (2, Z) \H) .
Pour conclure, une remarque sur la nature de la géométrie hyperbolique par
rapport à la géométrie euclidienne. La définition même fait apercevoir un effet de
« concentration » qui est très visible en écrivant les inégalités isopérimétriques respectives dans le plan R~ et dans H. Soit D un ensemble compact connexe dont le bord
est une courbe C de classe c'. Alors, dans le plan, on a
où A est l'aire de D et L la longueur du périmètre C , avec égalité si et seulement si
D est un disque. Dans H, l'inégalité correspondante est
et il y a encore égalité pour les disques (hyperboliques). En particulier L A : la
longueur du périmètre est comparable à l'aire. Si l'on prend un disque D de grande
taille et U un voisinage « cylindrique » autour de C à distance 1
on trouve que l'aire de U est comparable à la longueur L. Dans le cas euclidien,
celle-ci est de l'ordre de fi, ce qui signifie que l'aire du disque est bien répartie
« uniformément » à l'intérieur, mais dans le cas hyperbolique, l'aire de U est du
même ordre de grandeur que celle de D : l'aire s'est concentrée sur le bord.
(*)En particulier si les trois sommets ne sont pas alignés, la somme des angles est < x .
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