6.2. UNE PINCÉE DE GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE
Lemme 6.2.3. - Soient
dxdy
dp(z) = -
a2
a2
y 2
La mesure p et 1 'opérateur différentiel A sont invariants par SL (2, R) , c'est-à-dire
pour y E SL (2, R) , où on a noté
Remarque 6.2.4. - On a bien sûr f 1 yz = (f 1 y) 1 z.
Soit ï < SL(2, R) un sous-groupe discret, ou la topologie sous-entendue est la topologie euclidienne sur SL(2, R) c R ~ .
On peut considérer l'espace topologique
quotient ï \ H . Du fait que la mesure dp ci-dessus est SL(2,R)-invariante, elle induit une mesure sur ce quotient. Comme pour SL(2, Z) , on peut démontrer ($ par
exemple [Iw4, 2.21) aisément qu'il existe un domaine fondamental F pour ï, c'està-dire un ouvert tel que tout z E H est ï-équivalent à un élément de F , et deux
éléments distincts z, w E F ne sont jamais r-équivalents. La mesure sur le quotient
peut alors se voir concrètement comme la restriction de dp (z) à F (si le bord est de
mesure nulle, ce qui est vrai pour les domaines fondamentaux « classiques », polygones de Dirichlet ou de Ford par exemple [Iw4, loc. cit.] ). En particulier on a
Vol(I'\H) = p (F).
Le lemme suivant est très important.
Lemme 6.2.5. - Le sous-groupe SL(2, Z) est discret dans SL(2, R) et le quotient ï \ H est de
volume
mais est non compact.
Démonstration. - Par l'invariance de la mesure, on voit que le volume du quotient
SL(2, Z) \H est simplement le volume hyperbolique du domaine fondamental F de
la Proposition 6.1.4 (le bord étant de mesure nulle). Le fait que
7C
dxdy
3=sl77
se vérifie aussitôt par un calcul d'intégrale direct, mais c'est aussi une conséquence
simple du théorème de Gauss-Bonnet pour le plan hyperbolique, selon lequel
l'aire A d'un triangle hyperbolique (dont l'un ou plusieurs des sommets peut être
sur le bord R U {CO)) est égale à
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
Lemme 6.2.3. - Soient
dxdy
dp(z) = -
a2
a2
y 2
La mesure p et 1 'opérateur différentiel A sont invariants par SL (2, R) , c'est-à-dire
pour y E SL (2, R) , où on a noté
Remarque 6.2.4. - On a bien sûr f 1 yz = (f 1 y) 1 z.
Soit ï < SL(2, R) un sous-groupe discret, ou la topologie sous-entendue est la topologie euclidienne sur SL(2, R) c R ~ .
On peut considérer l'espace topologique
quotient ï \ H . Du fait que la mesure dp ci-dessus est SL(2,R)-invariante, elle induit une mesure sur ce quotient. Comme pour SL(2, Z) , on peut démontrer ($ par
exemple [Iw4, 2.21) aisément qu'il existe un domaine fondamental F pour ï, c'està-dire un ouvert tel que tout z E H est ï-équivalent à un élément de F , et deux
éléments distincts z, w E F ne sont jamais r-équivalents. La mesure sur le quotient
peut alors se voir concrètement comme la restriction de dp (z) à F (si le bord est de
mesure nulle, ce qui est vrai pour les domaines fondamentaux « classiques », polygones de Dirichlet ou de Ford par exemple [Iw4, loc. cit.] ). En particulier on a
Vol(I'\H) = p (F).
Le lemme suivant est très important.
Lemme 6.2.5. - Le sous-groupe SL(2, Z) est discret dans SL(2, R) et le quotient ï \ H est de
volume
mais est non compact.
Démonstration. - Par l'invariance de la mesure, on voit que le volume du quotient
SL(2, Z) \H est simplement le volume hyperbolique du domaine fondamental F de
la Proposition 6.1.4 (le bord étant de mesure nulle). Le fait que
7C
dxdy
3=sl77
se vérifie aussitôt par un calcul d'intégrale direct, mais c'est aussi une conséquence
simple du théorème de Gauss-Bonnet pour le plan hyperbolique, selon lequel
l'aire A d'un triangle hyperbolique (dont l'un ou plusieurs des sommets peut être
sur le bord R U {CO)) est égale à
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