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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Soient maintenant z et w quelconques. On peut trouver y tel que yz = i et yw = i y
pour un certain y > O : en effet, étant donné y0 tel que yoz = i, on peut remplacer
y0 par k (0) y0 pour tout
cos0 - sin0
k(0) = sin 0 cos 0
) t SO(2,R) < SL(2,R)
car un tel k laisse fixe i, et comme le signe de Re(k(x/2) yow) est l'opposé de celui de
Re (yow) , il existe par continuité 0 tel que Re (k (0) yow) = O. Cela permet de calculer
la distance d(z, w) = d(i, k(0) yow), par invariance par isométries.
En utilisant cela et l'action de G, on arrive à démontrer sans trop de difficulté que
les géodésiques de H , c'est-à-dire les courbes réalisant localement la distance entre
deux points, sont précisément les droites hyperboliques décrites au début de ce paragraphe. En particulier, elles se prolongent à l'infini, ce qui signifie que H est complet
(au sens riemannien, ou pour la topologie induite par la distance hyperbolique). Noter que cette topologie n'est donc pas la même que la topologie induite par celle
« ordinaire >> sur C. On démontre aussi que les géodésiques minimisent globalement
la distance, et (comme déjà indiqué) il existe une unique géodésique reliant deux
points donnés.
On peut également calculer la courbure (scalaire, ou de Gauss) K de la métrique
hyperbolique, et on trouve que K est constante, K = -1 < O. C'est la signification
moderne de la notion de géométrie hyperbolique.
À partir de la métrique hyperbolique, comme de toute métrique riemannienne,
sont définis différents objets intrinsèques : le groupe des isométries de H (dont on a
vu qu'il contient (l'image de) SL (2, R) ), la mesure riemannienne, et le laplacien.
On démontre que le groupe de toutes les isométries est PSL(2,R) >a 2/22, où
PSL(2, R) est le sous-groupe distingué des isométries conservant l'orientation (cf: le
Lemme 6.2.1, (3)), le quotient 2/22 reflétant l'orientation admettant comme représentant non trivial la réflexion z H -Z.
En utilisant les formules générales pour une métrique riemannienne arbitraire
(cf: [GHL, p. 140, 1831, par exemple), on trouve que la mesure hyperbolique est
dxdy
dp(z) = -
y2
et le laplacien est
D'après la théorie générale, ces deux objets sont intrinsèques, donc invariants par
l'action des isométries, et en particulier de SL(2, R) . Cela peut bien entendu se vérifier directement.
COURS SPÉCWISÉS 13
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Soient maintenant z et w quelconques. On peut trouver y tel que yz = i et yw = i y
pour un certain y > O : en effet, étant donné y0 tel que yoz = i, on peut remplacer
y0 par k (0) y0 pour tout
cos0 - sin0
k(0) = sin 0 cos 0
) t SO(2,R) < SL(2,R)
car un tel k laisse fixe i, et comme le signe de Re(k(x/2) yow) est l'opposé de celui de
Re (yow) , il existe par continuité 0 tel que Re (k (0) yow) = O. Cela permet de calculer
la distance d(z, w) = d(i, k(0) yow), par invariance par isométries.
En utilisant cela et l'action de G, on arrive à démontrer sans trop de difficulté que
les géodésiques de H , c'est-à-dire les courbes réalisant localement la distance entre
deux points, sont précisément les droites hyperboliques décrites au début de ce paragraphe. En particulier, elles se prolongent à l'infini, ce qui signifie que H est complet
(au sens riemannien, ou pour la topologie induite par la distance hyperbolique). Noter que cette topologie n'est donc pas la même que la topologie induite par celle
« ordinaire >> sur C. On démontre aussi que les géodésiques minimisent globalement
la distance, et (comme déjà indiqué) il existe une unique géodésique reliant deux
points donnés.
On peut également calculer la courbure (scalaire, ou de Gauss) K de la métrique
hyperbolique, et on trouve que K est constante, K = -1 < O. C'est la signification
moderne de la notion de géométrie hyperbolique.
À partir de la métrique hyperbolique, comme de toute métrique riemannienne,
sont définis différents objets intrinsèques : le groupe des isométries de H (dont on a
vu qu'il contient (l'image de) SL (2, R) ), la mesure riemannienne, et le laplacien.
On démontre que le groupe de toutes les isométries est PSL(2,R) >a 2/22, où
PSL(2, R) est le sous-groupe distingué des isométries conservant l'orientation (cf: le
Lemme 6.2.1, (3)), le quotient 2/22 reflétant l'orientation admettant comme représentant non trivial la réflexion z H -Z.
En utilisant les formules générales pour une métrique riemannienne arbitraire
(cf: [GHL, p. 140, 1831, par exemple), on trouve que la mesure hyperbolique est
dxdy
dp(z) = -
y2
et le laplacien est
D'après la théorie générale, ces deux objets sont intrinsèques, donc invariants par
l'action des isométries, et en particulier de SL(2, R) . Cela peut bien entendu se vérifier directement.
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