6.2. UNE PINCÉE DE GÉOMÉTRIE HYF'ERBOLIQUE
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que les angles euclidiens, ce qui aide à recycler au moins une part de l'intuition
euclidienne.. .
Il s'avère relativement simple de calculer la distance hyperbolique en exploitant la
présence d'un important groupe d'isométries de H :
Lemme 6.2.1
(1) Le groupe G = SL (2, R) agit sur H par isométries pour la métrique hyperbolique.
(2) Lhction de G est transitive, c'est-à-dire étant donnés z, w E H , il existe y E G tel que
yz =W.
(3) Une matrice o E SL(2,R) agit trivialement si et seulement si o E {f 1), et le
groupe des isométries préservant lbrientation de H est isomorphe au quotient PSL (2, R) =
SL(%R)/{f 1).
Démonstration
(1) Pour y E SL (2, R) ,
donc
(2) Pour démontrer la transitivité, il suffit de prendre z = i. Mais alors yi = w =
(3) On vérifie tout de suite que oz = z pour tout z implique o = f Id, et bien entendu l'action d'un élément de SL(2, R) préserve l'orientation. Que l'on ait obtenu
là toutes les isométries préservant l'orientation n'est pas très difficile à démontrer
(cf: par exemple [GHL] ) .
O
Remarque 6.2.2. - La distinction assez minime entre SL (2, R) et PSL (2, R) sera parfois occultée et on se permettra de petits abus de langage tels que de parler d'une
matrice représentant un élément de ce dernier groupe.
Si z = i et w = iy, y > O , on a clairement
pour toute courbe joignant z à w, et cette valeur correspond au segment vertical
joignant z et w , de sorte que d(i,iy) = Ilogyl.
SOCIÉTÉ MATHEMATIQCE DE FRANCE 2004
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que les angles euclidiens, ce qui aide à recycler au moins une part de l'intuition
euclidienne.. .
Il s'avère relativement simple de calculer la distance hyperbolique en exploitant la
présence d'un important groupe d'isométries de H :
Lemme 6.2.1
(1) Le groupe G = SL (2, R) agit sur H par isométries pour la métrique hyperbolique.
(2) Lhction de G est transitive, c'est-à-dire étant donnés z, w E H , il existe y E G tel que
yz =W.
(3) Une matrice o E SL(2,R) agit trivialement si et seulement si o E {f 1), et le
groupe des isométries préservant lbrientation de H est isomorphe au quotient PSL (2, R) =
SL(%R)/{f 1).
Démonstration
(1) Pour y E SL (2, R) ,
donc
(2) Pour démontrer la transitivité, il suffit de prendre z = i. Mais alors yi = w =
(3) On vérifie tout de suite que oz = z pour tout z implique o = f Id, et bien entendu l'action d'un élément de SL(2, R) préserve l'orientation. Que l'on ait obtenu
là toutes les isométries préservant l'orientation n'est pas très difficile à démontrer
(cf: par exemple [GHL] ) .
O
Remarque 6.2.2. - La distinction assez minime entre SL (2, R) et PSL (2, R) sera parfois occultée et on se permettra de petits abus de langage tels que de parler d'une
matrice représentant un élément de ce dernier groupe.
Si z = i et w = iy, y > O , on a clairement
pour toute courbe joignant z à w, et cette valeur correspond au segment vertical
joignant z et w , de sorte que d(i,iy) = Ilogyl.
SOCIÉTÉ MATHEMATIQCE DE FRANCE 2004