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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
l'équation devenant a = a + 2bpt + cp2t2 = O (modp). Il y a une unique solution si
p 1 a, et aucune sinon. En remarquant que p 1 a ne se produit que lorsque il y a
< 1 solutions dans le premier cas, le nombre total de solutions modulo p est donc
< 2. Par multiplicativité il vient donc m(d, z) < .c (d) (puisque d est sans facteurs
carrés).
O
6.2. Une pincée de géométrie hyperbolique
Bien que pour la suite il ne soit pas forcément nécessaire de connaître le détail de
cette section, il serait dommage de ne pas préciser rapidement la nature géométrique
du demi-plan de Poincaré, qui est d'être un modèle du plan hyperbolique.
D'un point de vue élémentaire d'abord, définissons les droites hyperboliques dans H
comme étant
(1) Les demi-droites verticales Dx = {x + iy 1 y > O), et
(2) Les demi-cercles perpendiculaires à R ,
pour r > O, a E R .
On vérifie alors que ces droites hyperboliques vérifient les axiomes usuels, essentiellement : par deux points w et z E H passe exactement une droite hyperbolique.
Par contre, si une droite D est donnée et z D, il existe une infinité de droites D'
telles que 2 E D' et D n D' = 0 , c'est-à-dire une infinité de parallèles à D passant
par z : le dernier axiome d'Euclide n'est pas vérifié dans cette « géométrie ».
Le point de vue moderne est celui de la géométrie riemannienne. Le lecteur qui
n'est pas familier pourra prendre dans ce qui suit les définitions de la mesure dp(z)
et du laplacien hyperbolique A ; il suffira pour le reste de connaître leurs propriétés
fondamentales d'invariance, résumée dans le Lemme 6.2.3 ci-dessous qui peut se
vérifier par de simples calculs.
On munit H de la métrique riemannienne
Cela définit donc une distance sur H , par la borne inférieure des longueurs hyperboliques
de courbes C' par morceaux joignant z à w , y ( t ) = (x (t) , y (t) ) .
La métrique permet aussi de définir l'angle entre deux vecteurs tangents en un
point z E H, mais comme la métrique « infinitésimale » est un multiple de la métrique
euclidienne ds&, = dx2 + dy2, on voit que les angles hyperboliques sont les mêmes
COURS SPECIALISÉS 13
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
l'équation devenant a = a + 2bpt + cp2t2 = O (modp). Il y a une unique solution si
p 1 a, et aucune sinon. En remarquant que p 1 a ne se produit que lorsque il y a
< 1 solutions dans le premier cas, le nombre total de solutions modulo p est donc
< 2. Par multiplicativité il vient donc m(d, z) < .c (d) (puisque d est sans facteurs
carrés).
O
6.2. Une pincée de géométrie hyperbolique
Bien que pour la suite il ne soit pas forcément nécessaire de connaître le détail de
cette section, il serait dommage de ne pas préciser rapidement la nature géométrique
du demi-plan de Poincaré, qui est d'être un modèle du plan hyperbolique.
D'un point de vue élémentaire d'abord, définissons les droites hyperboliques dans H
comme étant
(1) Les demi-droites verticales Dx = {x + iy 1 y > O), et
(2) Les demi-cercles perpendiculaires à R ,
pour r > O, a E R .
On vérifie alors que ces droites hyperboliques vérifient les axiomes usuels, essentiellement : par deux points w et z E H passe exactement une droite hyperbolique.
Par contre, si une droite D est donnée et z D, il existe une infinité de droites D'
telles que 2 E D' et D n D' = 0 , c'est-à-dire une infinité de parallèles à D passant
par z : le dernier axiome d'Euclide n'est pas vérifié dans cette « géométrie ».
Le point de vue moderne est celui de la géométrie riemannienne. Le lecteur qui
n'est pas familier pourra prendre dans ce qui suit les définitions de la mesure dp(z)
et du laplacien hyperbolique A ; il suffira pour le reste de connaître leurs propriétés
fondamentales d'invariance, résumée dans le Lemme 6.2.3 ci-dessous qui peut se
vérifier par de simples calculs.
On munit H de la métrique riemannienne
Cela définit donc une distance sur H , par la borne inférieure des longueurs hyperboliques
de courbes C' par morceaux joignant z à w , y ( t ) = (x (t) , y (t) ) .
La métrique permet aussi de définir l'angle entre deux vecteurs tangents en un
point z E H, mais comme la métrique « infinitésimale » est un multiple de la métrique
euclidienne ds&, = dx2 + dy2, on voit que les angles hyperboliques sont les mêmes
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