6.1. FORMES LINÉAIRES EN RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
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Avant de discuter cela plus avant, un dernier lemme est important pour la suite
puisque l'on va estimer Ph (z) pour tout z E H et qu'il faut donc contrôler le nombre
de termes dans la somme sur z et T .
Lemme 6.1.13. - Soit D > O et d 2 1 des entiers sans facteurs carrés. Soit z E A et
q = ax2 + 2bxy + cy2 la forme quadratique entière associée. Le nombre m(d, z) de solutions
T E To (d) \To (1) à l'équation (6.13) vémjîe
Remarque 6.1.14. - On pourrait majorer m(d, z) en général, mais ce cas sera suffisant
pour la suite. Si D = 1, par exemple, la seule forme quadratique qui intervient est
q = x2 + y 2 pour z = i .
Démonstration. - On a vu que To (d) \To (1) s'identifie à la droite projective P' (Z/dZ) .
Explicitement, l'application
donne une telle bijection, comme le produit de matrices modulo d
le démontre.
Soit maintenant z E A et q = ax2 + 2bxy + +y2 la forme quadratique correspondant
à z. Alors TZ, où
vérifie (6.13) si et seulement si zq E gd, si et seulement si q ( (O, 1) z) = O modulo d.
Or q((0,l)z) = q(y, 6) et la condition est donc que (y, 6) soit zéro de la forme
quadratique q modulo d. Ces zéros sont vus dans P' (Z/dZ) d'après la remarque du
début. Remarquons que (a, b, c) = 1 car si p 1 (a, b, c ) , on a p2 1 D, contrairement à
l'hypothèse sur D.
On peut calculer le nombre de zéros de q pour p 1 d, 1, premier et et appliquer
ensuite le théorème chinois. Mais (y, 6) ne peut être = (0, O) modulo p. Si 6 est non
divisible par P, donc inversible, on a dans P' (Z/pZ)
[y, 61 = [y6-1 : 11
donc le nombre de tels zéros est égal au nombre de solutions de l'équation quadratique
ax2 + 2bx + c = O (modp).
Comme ce polynôme est non nul modulo p, le nombre de solutions est < 2 .
Si p 1 6 par contre, on a p { y et la solution est le point à l'infini
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Avant de discuter cela plus avant, un dernier lemme est important pour la suite
puisque l'on va estimer Ph (z) pour tout z E H et qu'il faut donc contrôler le nombre
de termes dans la somme sur z et T .
Lemme 6.1.13. - Soit D > O et d 2 1 des entiers sans facteurs carrés. Soit z E A et
q = ax2 + 2bxy + cy2 la forme quadratique entière associée. Le nombre m(d, z) de solutions
T E To (d) \To (1) à l'équation (6.13) vémjîe
Remarque 6.1.14. - On pourrait majorer m(d, z) en général, mais ce cas sera suffisant
pour la suite. Si D = 1, par exemple, la seule forme quadratique qui intervient est
q = x2 + y 2 pour z = i .
Démonstration. - On a vu que To (d) \To (1) s'identifie à la droite projective P' (Z/dZ) .
Explicitement, l'application
donne une telle bijection, comme le produit de matrices modulo d
le démontre.
Soit maintenant z E A et q = ax2 + 2bxy + +y2 la forme quadratique correspondant
à z. Alors TZ, où
vérifie (6.13) si et seulement si zq E gd, si et seulement si q ( (O, 1) z) = O modulo d.
Or q((0,l)z) = q(y, 6) et la condition est donc que (y, 6) soit zéro de la forme
quadratique q modulo d. Ces zéros sont vus dans P' (Z/dZ) d'après la remarque du
début. Remarquons que (a, b, c) = 1 car si p 1 (a, b, c ) , on a p2 1 D, contrairement à
l'hypothèse sur D.
On peut calculer le nombre de zéros de q pour p 1 d, 1, premier et et appliquer
ensuite le théorème chinois. Mais (y, 6) ne peut être = (0, O) modulo p. Si 6 est non
divisible par P, donc inversible, on a dans P' (Z/pZ)
[y, 61 = [y6-1 : 11
donc le nombre de tels zéros est égal au nombre de solutions de l'équation quadratique
ax2 + 2bx + c = O (modp).
Comme ce polynôme est non nul modulo p, le nombre de solutions est < 2 .
Si p 1 6 par contre, on a p { y et la solution est le point à l'infini