152
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
En sommant sur n 2 1, d 1 n, comme Im(orz) est toujours de la forme \/D/n
pour un n 2 1, on fait simplement s'évanouir la dernière condition de sommation,
obtenant la formule finale formelle
que l'on rend aisément rigoureuse en introduisant une fonction test du type(')
avec F à support compact. Ainsi :
Corollaire 6.1.11. - Soit D > O, d 1 des entiers, h E Z, F : ]O, +oo[ + C une fonction
CD" à support compact. O n a
Les propriétés fondamentales de Ph sont les suivantes :
Lemme 6. P . 12. - L a fonction Ph est CD" sur H , et vémjie
(6.15)
ph(oz) = ph(z)
pour tout z E H , o E ï0 (d) .
Démonstration. - Puisque F est à support compact, la somme dans (6.14) ne fait
intervenir en réalité qu'un nombre fini de o , qui est même borné un$ormément pour
z E H (voir la preuve du Lemme 6.4.2 ci-dessous) pour tout z dans un compact fixé.
Il est donc évident que Ph est CD" sur H. De plus, puisque la fonction
est invariante par l'action de B, il est alors clair que Ph est ï0 (d) -périodique (c'est la
même idée que dans la preuve de la formule de sommation de Poisson).
La relation (6.15) (dite de modularité) pour Ph est la clé de la suite des arguments
puisqu'elle permet de faire intervenir la profonde théorie des formes automorphes,
qu'on peut voir comme un analogue en géométrie hyperbolique du développement
en série de Fourier de fonctions périodiques sur R~ (comparer avec la formule de
Poisson, Proposition 2.5.1).
(l) La normalisation particulière est choisie pour simplifier certaines formules ultérieures.
COURS SPÉCIALISÉS 13