des coordonnées homogènes (correspondant à la droite ax + by = O, a et b étant bien
définis modulo multiplication par un scalaire A E (Z/dZ) ), cette action est
On voit alors que To(d) est le stabilisateur de la droite el = [1 : O] pour cette
action ; d'une part cela démontre sans calcul que To (d) est un sous-groupe, et d'autre
part, comme l'action en question est transitive, cela implique que
[SL(2, Z) : To(d)] = IP' (Z/dZ) 1 < +m.
Le calcul de cette dernière fonction est élémentaire et donne la formule annoncée.
(Considérer le cas d = fik, où fi est premier et k 2 1, puis utiliser le théorème chinois ;
le cas important d = p donne IP' (5) 1 = p + 1, fi points habituels >> et un point à
l'infini).
17
Du point de vue des formes quadratiques la condition d 1 n pour q = mx2 +
2bxy + ny2 est équivalente à q(O, 1) E O (mod d) . Soit Hd c Cz l'ensemble des formes
quadratiques entières vérifiant cette dernière propriété. L'observation cruciale est
que To (d) agit sur @ en laissant globalement invariant g d , puisque
Procédant alors comme précédemment, il y a une bijection entre les solutions
b E Z de b2 + D = O (modn) avec d 1 n et les points oz où a E To(d) et z E Ad, un
ensemble de représentants pour To (d) \ g d . Or on a
Lemme 6.1 .IO. - L'ensemble To (d) \Hd est en bijection avec Z' ensembb des points sz, où
z E
= To (1) \gz et T E rO (d) \rO (1) vhifient la condition
(6.13)
0
Im (TZ) = - pour un entier rn 2 1.
md
Démonstration. - Clairement on peut voir T0(d)\gd comme un sous-ensemble de
To (d) \Hz. Introduisant les classes s E To (d) \To (1) , on a la réunion disjointe évidente
où A est comme précédemment. Il s'agit donc de distinguer parmi les points TZ,
s E To (d) \To (1) , z E A, lesquels correspondent à g d . Or la condition est justement
que la forme quadratique correspondante s'annule (modulo d) en (O, l ) , ce qui se
traduit par le coefficient de y2 divisible par d, ce qui est équivalent à (6.13).
O
On en déduit donc pour d 1 n
*
où la somme C restreint (z, T) aux éléments vérifiant (6.13).
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
définis modulo multiplication par un scalaire A E (Z/dZ) ), cette action est
On voit alors que To(d) est le stabilisateur de la droite el = [1 : O] pour cette
action ; d'une part cela démontre sans calcul que To (d) est un sous-groupe, et d'autre
part, comme l'action en question est transitive, cela implique que
[SL(2, Z) : To(d)] = IP' (Z/dZ) 1 < +m.
Le calcul de cette dernière fonction est élémentaire et donne la formule annoncée.
(Considérer le cas d = fik, où fi est premier et k 2 1, puis utiliser le théorème chinois ;
le cas important d = p donne IP' (5) 1 = p + 1, fi points habituels >> et un point à
l'infini).
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Du point de vue des formes quadratiques la condition d 1 n pour q = mx2 +
2bxy + ny2 est équivalente à q(O, 1) E O (mod d) . Soit Hd c Cz l'ensemble des formes
quadratiques entières vérifiant cette dernière propriété. L'observation cruciale est
que To (d) agit sur @ en laissant globalement invariant g d , puisque
Procédant alors comme précédemment, il y a une bijection entre les solutions
b E Z de b2 + D = O (modn) avec d 1 n et les points oz où a E To(d) et z E Ad, un
ensemble de représentants pour To (d) \ g d . Or on a
Lemme 6.1 .IO. - L'ensemble To (d) \Hd est en bijection avec Z' ensembb des points sz, où
z E
= To (1) \gz et T E rO (d) \rO (1) vhifient la condition
(6.13)
0
Im (TZ) = - pour un entier rn 2 1.
md
Démonstration. - Clairement on peut voir T0(d)\gd comme un sous-ensemble de
To (d) \Hz. Introduisant les classes s E To (d) \To (1) , on a la réunion disjointe évidente
où A est comme précédemment. Il s'agit donc de distinguer parmi les points TZ,
s E To (d) \To (1) , z E A, lesquels correspondent à g d . Or la condition est justement
que la forme quadratique correspondante s'annule (modulo d) en (O, l ) , ce qui se
traduit par le coefficient de y2 divisible par d, ce qui est équivalent à (6.13).
O
On en déduit donc pour d 1 n
*
où la somme C restreint (z, T) aux éléments vérifiant (6.13).
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