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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Corollaire 6.1.7. - Soit D > O un entier; h E Z. On a
Remarque 6.1.8. - L'ensemble B\SL (2, Z) peut être interprété très concrètement :
l'application
induit une bijection entre B\SL (2, Z) et les couples (y, 8) d'entiers tels que (y, 8) = 1
(i.e. les couples d'entiers premiers entre eux). En effet, d'après la relation de Bezout,
la condition det(o) = 1 implique que (y, 8) = 1 , et réciproquement que tout couple
satisfaisant cela peut être relevé B en une matrice de SL(2, Z). Il ne reste alors qu'à
vérifier l'injectivité de l'application ci-dessus, mais cela provient du fait que les solutions (cc, P) de
a6 - py = 1
sont toutes de la forme
si (ao, Po) est une solution donnée et n E Z. On vérifie aussitôt que
donc ces solutions forment exactement une classe de B-équivalence.
Pour construire Y d , il reste à incorporer la condition d 1 n et à sommer sur n.
Pour ce faire, on introduit les sous-groupes de congruence de Hecke
lo (d) = { ( ) € ( 2 Z) 1 y - O (mod d) }
pour d 2 1 (un calcul immédiat démontre qu'il s'agit effectivement d'un
sous-groupe ; voir le lemme ci-dessous pour une interprétation). Noter que
lo (1) = SL(2, Z) et que B c ïo(d) pour tout d 2 1.
Lemme 6.1.9. - Pour tout d 1, To (d) est un sous-groupe d 'indice$ni de SL(2, Z) , précisément
Démonstration. - Considérons l'action naturelle du groupe SL(2, Z) , via son quotient fini SL(P,Z/dZ), sur la droite projective P' (Z/dZ), autrement dit que l'ensemble des droites (sous-groupes isomorphes à Z/dZ) dans z/dz2. Si [a : b] sont
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Corollaire 6.1.7. - Soit D > O un entier; h E Z. On a
Remarque 6.1.8. - L'ensemble B\SL (2, Z) peut être interprété très concrètement :
l'application
induit une bijection entre B\SL (2, Z) et les couples (y, 8) d'entiers tels que (y, 8) = 1
(i.e. les couples d'entiers premiers entre eux). En effet, d'après la relation de Bezout,
la condition det(o) = 1 implique que (y, 8) = 1 , et réciproquement que tout couple
satisfaisant cela peut être relevé B en une matrice de SL(2, Z). Il ne reste alors qu'à
vérifier l'injectivité de l'application ci-dessus, mais cela provient du fait que les solutions (cc, P) de
a6 - py = 1
sont toutes de la forme
si (ao, Po) est une solution donnée et n E Z. On vérifie aussitôt que
donc ces solutions forment exactement une classe de B-équivalence.
Pour construire Y d , il reste à incorporer la condition d 1 n et à sommer sur n.
Pour ce faire, on introduit les sous-groupes de congruence de Hecke
lo (d) = { ( ) € ( 2 Z) 1 y - O (mod d) }
pour d 2 1 (un calcul immédiat démontre qu'il s'agit effectivement d'un
sous-groupe ; voir le lemme ci-dessous pour une interprétation). Noter que
lo (1) = SL(2, Z) et que B c ïo(d) pour tout d 2 1.
Lemme 6.1.9. - Pour tout d 1, To (d) est un sous-groupe d 'indice$ni de SL(2, Z) , précisément
Démonstration. - Considérons l'action naturelle du groupe SL(2, Z) , via son quotient fini SL(P,Z/dZ), sur la droite projective P' (Z/dZ), autrement dit que l'ensemble des droites (sous-groupes isomorphes à Z/dZ) dans z/dz2. Si [a : b] sont
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