pour certains entiers b et c > O. Comme Im(w) 2 &/2 et 1 Re ( w ) 1 < 1/2, on a
L'ensemble des couples (b, c) d'entiers, avec c > 0, vérifiant ces deux inégalités
est évidemment fini, et donc l'ensemble des points w , et l'ensemble SL (2, Z) \H, sont
finis.
(3) Il s'agit d'un calcul élémentaire.
C l
Exemple 6.1.5. - Si D = 1, P = x2 + 1 et on vérifie que A = {q = x2 + y2} = {i}
(vu comme forme quadratique ou comme point dans H, respectivement). Il y a donc
un seul élément. De plus Ti E 2/42, engendré par S. En effet, Si = -l/i = i ; noter
que s2 = -Id mais l'action de cette dernière matrice est triviale. En particulier, on a
toujours { f Id} c Tz , et à l'exception de z E {i, e(l/3), e(2/3)), il y a égalité, en
particulier (T, ( = 2.
Si maintenant b H f (b) est une application quelconque définie sur les b E Z
qui sont racines de l'équation b2 + D = O (modn), on a d'après le lemme et la
Remarque 6.1.2 l'égalité formelle (la convergence de la somme sur o n'étant pas
discutée)
où le facteur lTzl-' permet d'éliminer la multiplicité dans la représentation des
points oz, o E SL(2,Z), z E A .
Pour exprimer ph (n) par le biais de ces paramétrisations, il reste à passer des solutions b E Z à leurs classes modulo n. Mais cela est aisé car le changement b H b + ns
pour s E Z correspond ($ (6.7)) à
c'est-à-dire à l'action du sous-groupe B défini par (6.9). Par conséquent on a
Lemme 6.1.6. - Soit D > O un entier, P = x2 + D. Pour tout n 2 1, si f (v) est une
fonction complexe définie sur les racines v E Z/nZ de v2 + D = 0, on a
1
C f (v) = C - C f (nRe(o4
v€Z/nZ
€
I r otB\SL(2,Z)
P (v) =O
1m (oz) = f i / n
Dans ce cas, toutes les sommes sont finies, donc ce lemme est effectivement valide
<< tel quel D. En particulier en prenant f (v) = e(hv/n) il vient :
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004