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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Voici l'image bien connue de F (cf: [Se] ) :
Noter que si z E F , on a Im(z) 2 &/2.
Démonstration
(1) Soit x E H. Pour o E SL(2, R) , on calcule aussitôt que
Pour o variant dans SL (2, Z) , le dénominateur 1 yz + 8 l2 a un minimum > O (car
z $ R ) qui est atteint pour oo, disons. Cela signifie que Im(ooz) est maximal.
Le sous-groupe
agit sur H par translations horizontales :
et il existe donc k E Z tel que zl = .ckooz vérifie 1 Re(zl) 1 < 1/2. La matrice
agit pour sa part par
1
(6.11)
Sz = -- etdonc Im(Sz) =1m(z)lz/-'
x
par (6.8). Or par définition de oo on doit avoir
(comme I ~ ( T ~ w )
=Im(w) ), et par (6.11) cela implique lzi / 2 1, d'où zl = rkooz E F.
L'unicité de o pour w E F est laissée en exercice au lecteur ...
-
(2) Soit z = zq le point paramétrant une forme quadratique q E &, et w = x, , E F
le représentant équivalent correspondant dans le domaine fondamental. On a