6.1. FORMES LINÉAIRES EN RACINES DE CONGRUENCES QUADRATIQUES
ac - b2 = D, et on a alors rr ( ( a , b, c) ) = z, de sorte que ir est effectivement une
bijection.
Finalement, remarquons que par (6.3)
ce qui veut dire que (6.5) est vraie.
Remarque 6.1.2. - Clairement on a
et en particulier
pour une solution de b2+ D E O (mod n) , de sorte que la condition un peu maladroite
sur le coefficient de y2 ci-dessus peut se reformuler simplement comme Im(zq) =
\&/ne Noter aussi que Re(zq) = b / n , ce qui permet de retrouver la solution par
b = nRe(zq).
Énoncons précisément ce qui précède :
Lemme 6.1.3. - Soit D > O et n 2 1 . O n a une bijection entre les solutions b E Z de
b2 + D D O (modn) et lespoints or E H pour o E SL(2,Z) et z E A' = ir(A), i.e. A' c
SL (2, Z) \H est un ensemble de représentants des classes de formes quadratiques entières modulo
SL (2, Z) .
On va maintenant en dire plus sur l'ensemble des représentants A de SL(2, Z) \&.
On verra pour la proposition ci-dessous qu'il y a un avantage géométrique certain à
considérer H comme espace de paramètres.
Proposition 6.1.4
(1) Soit F c H l'ouvert
et F son adhérence. Alors pour tout z E H il existe w E F qui est SL(2, Z) -équivalent à z,
c'est-à-dire qu'il existe w E F et o E SL(2, Z) avec oz = W . De plus si w E F , alors w est
unique et o est unique a u signe près.
(2) L'ensemble A = SL (2, Z) \a est $ni.
(3) Pour tout x E H , le stabilisateur
est $ni, et son ordre est < 6 .
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
ac - b2 = D, et on a alors rr ( ( a , b, c) ) = z, de sorte que ir est effectivement une
bijection.
Finalement, remarquons que par (6.3)
ce qui veut dire que (6.5) est vraie.
Remarque 6.1.2. - Clairement on a
et en particulier
pour une solution de b2+ D E O (mod n) , de sorte que la condition un peu maladroite
sur le coefficient de y2 ci-dessus peut se reformuler simplement comme Im(zq) =
\&/ne Noter aussi que Re(zq) = b / n , ce qui permet de retrouver la solution par
b = nRe(zq).
Énoncons précisément ce qui précède :
Lemme 6.1.3. - Soit D > O et n 2 1 . O n a une bijection entre les solutions b E Z de
b2 + D D O (modn) et lespoints or E H pour o E SL(2,Z) et z E A' = ir(A), i.e. A' c
SL (2, Z) \H est un ensemble de représentants des classes de formes quadratiques entières modulo
SL (2, Z) .
On va maintenant en dire plus sur l'ensemble des représentants A de SL(2, Z) \&.
On verra pour la proposition ci-dessous qu'il y a un avantage géométrique certain à
considérer H comme espace de paramètres.
Proposition 6.1.4
(1) Soit F c H l'ouvert
et F son adhérence. Alors pour tout z E H il existe w E F qui est SL(2, Z) -équivalent à z,
c'est-à-dire qu'il existe w E F et o E SL(2, Z) avec oz = W . De plus si w E F , alors w est
unique et o est unique a u signe près.
(2) L'ensemble A = SL (2, Z) \a est $ni.
(3) Pour tout x E H , le stabilisateur
est $ni, et son ordre est < 6 .
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004