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CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Pour paramétrer ces formes quadratiques (6.2), on note (comme dans la Section 1.6) @ l'ensemble des formes quadratiques réelles définies positives de discriminant D, et on utilise l'action naturelle par changement de variable linéaire du
sous-groupe SL(2, Z) < SL(2, R) sur @ . Celle-ci est donnée par
(on voit (x,y) comme vecteur ligne, donc o agit à droite : on vérifie bien ~ ( o q )
=
( ~ 4 4 ) -
Soit @z c @ est l'ensemble des formes quadratiques entières de discriminant
D > O, et SL(2, Z)\gz l'ensemble des orbites par l'action de SL(2, Z) , il y a donc une
bijection entre les solutions b E Z de b2 + D = O (modn) et les formes quadratiques
oq où q t A, un ensemble de représentants de SL(2, Z)\@z et o E SL(2, Z), telles
que le coefficient de y2 dans oq est égal à n.
Tout cela devient plus limpide en introduisant la paramétrisation de l'espace @
par le demi-plan de Poincaré H (attention à noter que, alors que @ dépend explicitement de D, cette dépendance devient plus implicite au passage à H ) , que nous
rappelons par un lemme :
Lemme 6.1 .l. - Soit D > 0, @ 1 éspace des formes quadratiques réelles déJinies positives de
discriminant D, i.e.
@ = {q = (a, b,c) E R~ ( a,c > O, ac - b2 = D).
Alors il existe u n e bijection n : @ + H telle que x (q) = zq, o ù zq v"iJie
etpourtout o E SL(2,R), o n a
o ù l'action de SL (2, R) sur H est donnée par
Démonstration. - L'équation (6.4) détermine les complexes zq et Zq puisque q est
définie positive et à discriminant > O, donc ne se factorise pas sur R. Comme ces
deux nombres sont conjugués et distincts, il en existe un seul qui soit dans H : cela
fournit le choix de zq et définit la flèche @ + H.
Réciproquement, étant donné z E H, on détermine c > O par la condition Im(z) =
\/D/c (cf: la remarque ci-dessous) puis b E R par Re(z) = b / c , et enfin a > O par
CHAPITRE 6. FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
Pour paramétrer ces formes quadratiques (6.2), on note (comme dans la Section 1.6) @ l'ensemble des formes quadratiques réelles définies positives de discriminant D, et on utilise l'action naturelle par changement de variable linéaire du
sous-groupe SL(2, Z) < SL(2, R) sur @ . Celle-ci est donnée par
(on voit (x,y) comme vecteur ligne, donc o agit à droite : on vérifie bien ~ ( o q )
=
( ~ 4 4 ) -
Soit @z c @ est l'ensemble des formes quadratiques entières de discriminant
D > O, et SL(2, Z)\gz l'ensemble des orbites par l'action de SL(2, Z) , il y a donc une
bijection entre les solutions b E Z de b2 + D = O (modn) et les formes quadratiques
oq où q t A, un ensemble de représentants de SL(2, Z)\@z et o E SL(2, Z), telles
que le coefficient de y2 dans oq est égal à n.
Tout cela devient plus limpide en introduisant la paramétrisation de l'espace @
par le demi-plan de Poincaré H (attention à noter que, alors que @ dépend explicitement de D, cette dépendance devient plus implicite au passage à H ) , que nous
rappelons par un lemme :
Lemme 6.1 .l. - Soit D > 0, @ 1 éspace des formes quadratiques réelles déJinies positives de
discriminant D, i.e.
@ = {q = (a, b,c) E R~ ( a,c > O, ac - b2 = D).
Alors il existe u n e bijection n : @ + H telle que x (q) = zq, o ù zq v"iJie
etpourtout o E SL(2,R), o n a
o ù l'action de SL (2, R) sur H est donnée par
Démonstration. - L'équation (6.4) détermine les complexes zq et Zq puisque q est
définie positive et à discriminant > O, donc ne se factorise pas sur R. Comme ces
deux nombres sont conjugués et distincts, il en existe un seul qui soit dans H : cela
fournit le choix de zq et définit la flèche @ + H.
Réciproquement, étant donné z E H, on détermine c > O par la condition Im(z) =
\/D/c (cf: la remarque ci-dessous) puis b E R par Re(z) = b / c , et enfin a > O par