CHAPITRE 6
FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
6.1. Formes linéaires en racines de congruences quadratiques
On considère un entier D > O fixé et on pose P(x) = x2 + D, et comme précédemment
où h E Z. Pour d 2 1, soit Pd la forme linéaire de base sous forme lisse
où cp est Cm et supp(cp) c [ l , 21. Dans ce chapitre, cette forme linéaire est interprétée en fonction d'une certaine << série de Poincaré D, puis nous survolons la théorie
spectrale des formes automorphes qui permettra dans le chapitre suivant d'estimer
celle-ci et enfin, au Chapitre 8, de vérifier les hypothèses du théorème de crible (Corollaire 5.4.11) et démontrer enfin le Théorème 1.4.5 (et donc le Théorème 1.2.1).
L'interprétation de Yd généralise les calculs déjà esquissés dans la Section 1.6.
On utilise, comme dans la Section 1.6, la bgection << tautologique >> entre les solutions b E Z de l'équation
b2 + D = O (modn)
pour n 2 1 fixé, et les formes quadratiques binaires entières, définies positives, du
tn'e
de discriminant D = mn - b2. Noter bien que b E Z (et non Z/nZ), et que n étant
fixé, toute solution à la congruence fixe la valeur de m. L'ensemble de ces formes
quadratiques est simplement l'ensemble des formes quadratiques de discriminant D
dont 6 le coefficient de y2 >> est égal à n.
FORMES AUTOMORPHES ET DÉCOMPOSITION SPECTRALE
6.1. Formes linéaires en racines de congruences quadratiques
On considère un entier D > O fixé et on pose P(x) = x2 + D, et comme précédemment
où h E Z. Pour d 2 1, soit Pd la forme linéaire de base sous forme lisse
où cp est Cm et supp(cp) c [ l , 21. Dans ce chapitre, cette forme linéaire est interprétée en fonction d'une certaine << série de Poincaré D, puis nous survolons la théorie
spectrale des formes automorphes qui permettra dans le chapitre suivant d'estimer
celle-ci et enfin, au Chapitre 8, de vérifier les hypothèses du théorème de crible (Corollaire 5.4.11) et démontrer enfin le Théorème 1.4.5 (et donc le Théorème 1.2.1).
L'interprétation de Yd généralise les calculs déjà esquissés dans la Section 1.6.
On utilise, comme dans la Section 1.6, la bgection << tautologique >> entre les solutions b E Z de l'équation
b2 + D = O (modn)
pour n 2 1 fixé, et les formes quadratiques binaires entières, définies positives, du
tn'e
de discriminant D = mn - b2. Noter bien que b E Z (et non Z/nZ), et que n étant
fixé, toute solution à la congruence fixe la valeur de m. L'ensemble de ces formes
quadratiques est simplement l'ensemble des formes quadratiques de discriminant D
dont 6 le coefficient de y2 >> est égal à n.