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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
petit (noter que l'inégalité de Liouville est parfaitement effective, elle). Il s'agit d'un
autre grand problème non résolu de la théorie des nombres ... Pour plus de détails, y
compris la preuve du théorème de Roth, voir par exemple [Ba, 5 '71.
Nous considérons maintenant le second argument pour démontrer la Proposition 5.5.1 en toute généralité (sans hypothèse sur a ) .
Soit B > 12. On prend Q = x(logx)-*. Si q 2 XQ' = (logx)' 2 (logx)12,
les estimations (5.51) et (5.52) fournissent la majoration désirée. Supposons donc
1 < q <
L'idée est de reprendre les sommes exponentielles au point de départ : il s'avère
que la condition sur q démontre qu'elles sont très proches des sommes correspondantes avec a remplacé par le nombre rationnel a/q tel que la - a/ql < (qQ)-' ; et
celles-ci sont estimées par une autre méthode basée sur la q-périodicité maintenant
apparente de e(an/q) comme fonction de n qui permet de se ramener à des sommes
d'exponentielles modulo q.
Précisément, écrivons a = a/q+h avec \hl < (qQ)-l. Puisque e(un) = e(an/q)e(hn) ,
en posant f (x) = e(hx) , la formule de sommation par partie (2.16) donne
Maintenant, en utilisant la périodicité, on a
(la somme portant sur les r inversibles modulo q, le terme d'erreur tenant compte des
P 1 q) . En utilisant le théorème de Siegel-Walfisz (Corollaire 4.3.4, plus exactement la
variante évidente pour 7~ (x; q, r) ) , on obtient pour y 2 1
li (Y)
= -
*
~(;)+QA(-)
$
(log Y) A
pour tout A > O, la constante implicite ne dépendant que de A (mais étant non
effective). Dans le membre de droite on reconnaît la somme de Ramanujan c, (q) =
p (q) (car (a, q) = 1, cJ: (2.52) et (2.53) ) , et donc il vient finalement
En intégrant cela dans la formule de sommation par partie, le « terme principal >>
se transforme inversement en
tandis que le terme restant est
«A (1
compte tenu du choix de Q.
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
petit (noter que l'inégalité de Liouville est parfaitement effective, elle). Il s'agit d'un
autre grand problème non résolu de la théorie des nombres ... Pour plus de détails, y
compris la preuve du théorème de Roth, voir par exemple [Ba, 5 '71.
Nous considérons maintenant le second argument pour démontrer la Proposition 5.5.1 en toute généralité (sans hypothèse sur a ) .
Soit B > 12. On prend Q = x(logx)-*. Si q 2 XQ' = (logx)' 2 (logx)12,
les estimations (5.51) et (5.52) fournissent la majoration désirée. Supposons donc
1 < q <
L'idée est de reprendre les sommes exponentielles au point de départ : il s'avère
que la condition sur q démontre qu'elles sont très proches des sommes correspondantes avec a remplacé par le nombre rationnel a/q tel que la - a/ql < (qQ)-' ; et
celles-ci sont estimées par une autre méthode basée sur la q-périodicité maintenant
apparente de e(an/q) comme fonction de n qui permet de se ramener à des sommes
d'exponentielles modulo q.
Précisément, écrivons a = a/q+h avec \hl < (qQ)-l. Puisque e(un) = e(an/q)e(hn) ,
en posant f (x) = e(hx) , la formule de sommation par partie (2.16) donne
Maintenant, en utilisant la périodicité, on a
(la somme portant sur les r inversibles modulo q, le terme d'erreur tenant compte des
P 1 q) . En utilisant le théorème de Siegel-Walfisz (Corollaire 4.3.4, plus exactement la
variante évidente pour 7~ (x; q, r) ) , on obtient pour y 2 1
li (Y)
= -
*
~(;)+QA(-)
$
(log Y) A
pour tout A > O, la constante implicite ne dépendant que de A (mais étant non
effective). Dans le membre de droite on reconnaît la somme de Ramanujan c, (q) =
p (q) (car (a, q) = 1, cJ: (2.52) et (2.53) ) , et donc il vient finalement
En intégrant cela dans la formule de sommation par partie, le « terme principal >>
se transforme inversement en
tandis que le terme restant est
«A (1
compte tenu du choix de Q.
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