(car pour q donné l'ensemble correspondant est inclus dans la réunion de < q intervalles - un pour chaque valeur de a - de mesure 2(qp(q))-'), ce qui démontre la
propriété voulue pour presque tout cc E ]O, 1 [, qui implique évidemment le résultat
correspondant pour cc E R. (Il s'agit d'une forme de la partie facile du lemme de
Borel-Cantelli en probabilité).
Le cas (2) est plus intéressant d'un point de vu << concret P. Soit cc un nombre
algébrique. On va démontrer qu'il existe D > O telle que pour tout a/q E Q , on a
l'inégalité (dite de Liouville)
Il en découlera donc
D
1
-
- donc q 3 (DQ)'/(~-'),
qd
qQ
ce qui donne (2).
Soit a/q E Q un rationnel quelconque. Soit f E Z[X] un polynôme à coefficients
entiers de degré d annulant cc.
Si Icc - a/q1 2 1, on peut prendre D = 1 pour avoir (5.54). Supposons donc que
ce n'est pas le cas.
Le nombre qd f (a/q) est un entier, puisque
k d-k
qdf (a/q) =
bka q
avec bk E Z,
O&d
et il est non nul puisque f est irréductible et cc & Q . Par conséquent
Mais on a aussi, par le théorème des accroissements finis
où C = sup{/ ft(t)I 1 It - al < 1). Donc
Remarque 5.5.8. - Après de nombreux développements durant le 20ème siècle (tout
spécialement par Thue, puis Siegel), l'inégalité de Liouville a été améliorée de façon
définitive par Roth, qui a démontré que si cc est algébrique de degré > 1, pour tout
E > O, il existe une constante C, > O telle que
CE
1
.
- 4 1 2 ;
- .
Mais, comme dans le cas du zéro de Landau-Siegel (Théorème 4.3.3) pour la zone
sans zéros des fonctions L de caractères de Dirichlet quadratiques, toutes les preuves
connues de ce résultat sont non effectives : il n'est pas possible de spécifier CE pour E