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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
s'applique pour tout cc et consiste à traiter séparément les deux cas où q est petit, et
où q est grand (ce dernier étant déjà vu).
Nous présentons le premier argument, quoiqu'il ne soit pas général, parce qu'il
permet tout de même de démontrer
dans des cas tout à fait non triviaux.
Lemme 5.5.7
(1) Soit E > O. Pour presque tout
I l 4 < Q'. on a
le théorème de Vinogradov sans plus de calculs
cc E R, q étant le plus petit entier < Q tel que
q » QI-€
pour tout Q 2 1, la constante implicite dépendant a u plus de E et cc.
(2) Si a est un nombre algébrique(2) de degré d > 1, alors il existe u n e constante C > O ne
dépendant que de cc telle que
pour tout Q 2 1.
Dans ces deux cas, on déduit alors la Proposition 5.5.1 du Théorème 5.4.10 comme
précédemment. Comme cas particulier, on peut donc dire que les parties fractionnaires ({$fi}) sont équiréparties : ce seul résultat est déjà tout à fait remarquable.
Démonstration. - Le point (1) est un cas particulier d'un résultat plus général : si
P (q) est une fonction croissante telle que la série
converge, alors l'ensemble des cc tels que l'inégalité
ait une infinité de solutions a/q est de mesure O. Appliquons cela à P(q) = q'/(l-E).
Pour un cc tel que (5.53) ait un nombre fini de solutions, il existe C > O dépendant
de a tel que
ce qui donne P (q) 2 CQ, et donc q 2 (CQ) ' -' .
La preuve de la propriété annoncée est aisée : si N > 1, l'ensemble des solutions de
dans ] O, 1 [ pour q 2 N est de mesure
1
< 2 C - -t O quand N +- +oo,
q 2 N P (4)
(*)c'est-à-dire qu'il existe un polynôme irréductible P E Q [ X ] tel que P(a) = 0.
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
s'applique pour tout cc et consiste à traiter séparément les deux cas où q est petit, et
où q est grand (ce dernier étant déjà vu).
Nous présentons le premier argument, quoiqu'il ne soit pas général, parce qu'il
permet tout de même de démontrer
dans des cas tout à fait non triviaux.
Lemme 5.5.7
(1) Soit E > O. Pour presque tout
I l 4 < Q'. on a
le théorème de Vinogradov sans plus de calculs
cc E R, q étant le plus petit entier < Q tel que
q » QI-€
pour tout Q 2 1, la constante implicite dépendant a u plus de E et cc.
(2) Si a est un nombre algébrique(2) de degré d > 1, alors il existe u n e constante C > O ne
dépendant que de cc telle que
pour tout Q 2 1.
Dans ces deux cas, on déduit alors la Proposition 5.5.1 du Théorème 5.4.10 comme
précédemment. Comme cas particulier, on peut donc dire que les parties fractionnaires ({$fi}) sont équiréparties : ce seul résultat est déjà tout à fait remarquable.
Démonstration. - Le point (1) est un cas particulier d'un résultat plus général : si
P (q) est une fonction croissante telle que la série
converge, alors l'ensemble des cc tels que l'inégalité
ait une infinité de solutions a/q est de mesure O. Appliquons cela à P(q) = q'/(l-E).
Pour un cc tel que (5.53) ait un nombre fini de solutions, il existe C > O dépendant
de a tel que
ce qui donne P (q) 2 CQ, et donc q 2 (CQ) ' -' .
La preuve de la propriété annoncée est aisée : si N > 1, l'ensemble des solutions de
dans ] O, 1 [ pour q 2 N est de mesure
1
< 2 C - -t O quand N +- +oo,
q 2 N P (4)
(*)c'est-à-dire qu'il existe un polynôme irréductible P E Q [ X ] tel que P(a) = 0.
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