On utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer BK : il vient
On transforme cela en une somme du type (5.46) en posant h = m l - m2, donc
lhl < H = XK-', avec une multiplicité pour chaque valeur de h qui est < XK-'. Il
vient
(on rappelle que N < K < XM-' pour la somme B). Cela vérifie l'inégalité annoncée.
O
Plaçons-nous dans la situation du Corollaire 5.4.11 pour an = e (an) , avec les paramètres w, v , y et x indiqués (d'autres choix étant possibles), dépendant donc de
E > O. On obtient aussitôt les majorations
Posons Q = XI-€. Si q » (logx)12, on obtient aussitôt les estimations (5.41)
et (5.42) en notant que
w = exp
) >A (log x) A.
Mais il n'est pas exclu que q, qui est rappelons-le une fonction de Q (et de cc) soit
très petit. On peut résoudre cette dernière difficulté de deux façons. La première
n'est pas valable pour tout a , mais elle l'est pour presque tous (au sens de la mesure
de Lebesgue, et aussi - ce qui est plus rare - pour la plupart des nombres « naturels >>
donnés) : il s'agit de dire que la minoration désirée pour q est alors vraie. La seconde