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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
et les suivants du type
avec i 2 1. Pour les seconds, on peut appliquer le même raisonnement que ci-dessus,
qui fournit pour leur contribution une fois la majoration triviale xm-' < x(qi)-' ,
et pour le reste la majoration IlamIl ; pour le segment initial, seul ce second cas se
produit (le cas trivial correspondrait à m = O dans ce cas).
On trouve donc
« (q + M) log2q + xq-' log(1 + 4Mq-')
« (q + M + xq-' ) log 2qx.
O
Corollaire 5.5.6. - Soient 1 < M x, N 2 1 ; soient (a,), ((3,) des nombres complexes de
module au plus 1 pour m < x, n < x. On a
Démonstration. - La première inégalité résulte aussitôt de (5.4'7). Pour la seconde,
notons B la somme à estimer. On commence par écrire
ce qui permet de faire une division dyadique en n : l'intervalle N < n < x est découpé
en intervalles du type K < n < min (2K, x) , les valeurs successives de K étant K = N,
2N, . . . , 2 k ~
: on voit que le nombre d'intervalles est « log x. (On utilise la positivité
pour le dernier intervalle). De plus la condition mn < x implique n < xm-' < XM-' ,
donc K < XM-'.
Le gain dans une telle subdivision est que, pour un intervalle dyadique fixé, la
variable n est de taille à peu près constante.
Notons BK la somme à droite de (5.50) correspondant à K < n < 2 K . On va
démontrer que
ce qui donnera le résultat en sommant sur « log x valeurs possibles de K.
COURS SPÉCIALISÉS 13