Remarque 5.5.5. - L'estimation triviale, pour la première somme est « MN et pour
la seconde « x log M. On voit que, grosso-modo, le gain obtenu est de l'ordre de q-'
dans les deux cas. Comme q est une fonction de Q, qui sera choisi en fonction de x
à la fin, il devient apparent qu'une difficulté va surgir correspondant au cas où q est
très petit. On verra plus bas comment la contourner.
Démonstration. - Commençons par la première inégalité. On peut supposer A entier,
et même A = O puisque pour m fixé on a
e (ctmn) = e(ctmA) x e(amn) .
A l Pour A = O, quel que soit le choix de x(m) , la somme intérieure vérifie
Grâce à (5.45)' on remarque que si m parcourt un segment d'entiers de longueur
L < q/2, les L nombres llamll sont distincts, et vérifient une condition d'espacement
x e(amn)
Par conséquent, si on les réarrange en ordre croissant
< min(N, llamll-')
on a lxi 2 i/(2q) pour tout i. Pour i = O, on applique la borne triviale N et pour les
autres, la borne 11 am11 -' .
En réarrangeant ainsi la somme sur M en < 1 + 4M/q segments de longueur
< q/2, il vient
l n e ( m )
d'après le Lemme 5.5.2 en oubliant tout simplement que n < x(m).
On a donc
avec une constante implicite absolue.
Pour la seconde inégalité, on a cette fois
1
e(amn) 1 < min (" -)
l m = .
l l c 4
pour la somme intérieure. On réarrange la somme sur m en < 1 + 4Mq-' segments
de longueur < q/2, comme précédemment. Le premier segment est du type
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004