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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
Avec cela en vue, on introduit des approximations successives de a par des rationnels, fournies par le lemme suivant, dû à Dirichlet :
Lemme 5.5.3. - Soit a E R. Pour tout Q 2 1 , il existe un entier q, 1 < q < Q, et un
entier a, (a, q) = 1, tels que
Notons que (5.45) implique
Ilqall s Q'.
C'est l'ordre de grandeur du dénominateur q qui va intervenir de manière cruciale
dans la suite des estimations et qui mesure correctement le degré d'approximation
de a par des rationnels.
Démonstration. - Il s'agit du principe des tiroirs : considérons les Q + 1 nombres
O, Ilall , . . . , 11 Qall dans [O, l ] ; on peut recouvrir l'intervalle [O, 1 [ par les Q sousin tervalles
[O, Q-'1,
[q', 2Q-'1, . . . , [ l - Q', 11.
Il existe donc deux éléments de la première suite se trouvant dans le même intervalle, c'est-à-dire qu'il existe ml # mq et i , tels que O < mi, m2 < Q et O < i < Q - 1,
qui satisfont
Ilmiall, Ilm2all E [ i ~ ' ,
(i + 1)Q-'1.
donc il existe a E Z pour lequel Iqa - al s Q' , ce qui est (5.45).
O
Soit a & Q fixé, Q 2 1 également et (pour être précis) notons q le plus petit entier
< Q vérifiant les conditions du lemme, 1 < q < Q et 11 qa 11 < Q' . Les estimations qui
suivent seront en fonction de ces paramètres.
Lemme 5.5.4. - Soient M 2 1, N 2 1 et A 2 O. Supposons M < x . O n a pour tout choix
de réels x(m) > O pour m < M
pour x 2 1, avec une constante implicite absolue.