5.5. Exemple pédagogique
Nous allons illustrer le Théorème 5.4.10 par la preuve, par cet intermédiaire, d'un
résultat dû à Vinogradov, à savoir l'équirépartition des parties fractionnaires { q )
pour p premier, a @ Q étant un nombre réel irrationnel fixé. (Comparer avec le
Théorème 1.4.8).
En appliquant le critère de Weyl, on se ramène à prouver la Proposition suivante.
A.oposition 5.5.1. - Soit P E R - Q un nombre irrationnel. On a
quand x + +oo .
On applique cela aux valeurs P = ha, où h # O est un entier, ce qui vérifie le critère
de Weyl pour la suite ({MF)).
La preuve originale de Vinogradov était tout à fait similaire à celle que nous allons présenter, et en particulier elle ramenait le problème à l'estimation de formes
linéaires telles que (5.39) et formes bilinéaires telles que (5.40) ; cependant la partie
« crible oscillante » était tout à la fois plus simple, et meilleure dans ses estimations
finales. Ce qui suit n'a donc qu'une valeur pédagogique ...
Les sommes qui interviennent dans les formes linéaires ou bilinéaires sont formées
à partir de suites géométriques. Le point de départ est donc le lemme élémentaire
suivant :
Lemme 5.5.2. - Soit a E R, N 1.
avec
llall = inf{la - nl 1 n E Z)
la distance de a à 1 'entier le plus proche.
Démonstration. - Si a E Z, c'est évident. Sinon, remarquons que la borne N est
toujours valide. Pour N entier (ce qu'on peut supposer) on a aussi
1 - e(Na)
sin (nNa )
C e(an) = e(a) 1 - e(a)
= 4 (N + 1)
sin (na)
l < n @
d'où le résultat en prenant la valeur absolue et en utilisant la minoration 1 sin(na) 1 2
Cette simple inégalité démontre que la suite des estimations va dépendre fortement de l'approximation de a, et de ses multiples entiers da, par des entiers, où ce
qui revient au même, de la possibilité d'approcher, plus ou moins bien, a @ Q par
des rationnels. En effet, la borne en terme de llall est pire que la borne triviale si a
est très proche d'un entier.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
Nous allons illustrer le Théorème 5.4.10 par la preuve, par cet intermédiaire, d'un
résultat dû à Vinogradov, à savoir l'équirépartition des parties fractionnaires { q )
pour p premier, a @ Q étant un nombre réel irrationnel fixé. (Comparer avec le
Théorème 1.4.8).
En appliquant le critère de Weyl, on se ramène à prouver la Proposition suivante.
A.oposition 5.5.1. - Soit P E R - Q un nombre irrationnel. On a
quand x + +oo .
On applique cela aux valeurs P = ha, où h # O est un entier, ce qui vérifie le critère
de Weyl pour la suite ({MF)).
La preuve originale de Vinogradov était tout à fait similaire à celle que nous allons présenter, et en particulier elle ramenait le problème à l'estimation de formes
linéaires telles que (5.39) et formes bilinéaires telles que (5.40) ; cependant la partie
« crible oscillante » était tout à la fois plus simple, et meilleure dans ses estimations
finales. Ce qui suit n'a donc qu'une valeur pédagogique ...
Les sommes qui interviennent dans les formes linéaires ou bilinéaires sont formées
à partir de suites géométriques. Le point de départ est donc le lemme élémentaire
suivant :
Lemme 5.5.2. - Soit a E R, N 1.
avec
llall = inf{la - nl 1 n E Z)
la distance de a à 1 'entier le plus proche.
Démonstration. - Si a E Z, c'est évident. Sinon, remarquons que la borne N est
toujours valide. Pour N entier (ce qu'on peut supposer) on a aussi
1 - e(Na)
sin (nNa )
C e(an) = e(a) 1 - e(a)
= 4 (N + 1)
sin (na)
l < n @
d'où le résultat en prenant la valeur absolue et en utilisant la minoration 1 sin(na) 1 2
Cette simple inégalité démontre que la suite des estimations va dépendre fortement de l'approximation de a, et de ses multiples entiers da, par des entiers, où ce
qui revient au même, de la possibilité d'approcher, plus ou moins bien, a @ Q par
des rationnels. En effet, la borne en terme de llall est pire que la borne triviale si a
est très proche d'un entier.
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004