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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
Un choix possible (et effectivement réaliste) des paramètres, donnant une bonne
majoration de C ap est le suivant :
Corollaire 5.4.1 1. - Soit (a,) comme dans le théorème. Si, pour tout E > O on a
avec les paramètres
alors on a
Démonstration. - Pour tout E , on évalue les différents termes de (5.38). Les hypothèses (5.41) et (5.42) démontrent que
R(x) + B (x) (log x ) ~
«E
x (log x)
pour x 2. De plus pour les paramètres donnés par (5.43), on a
(logw)-l
E log x
= exp(-iogw)
= (log x) -' O
donc
tandis que
avec une constante implicite absolue, donc
X
(1% x)
EX
<< -
6(logv)(logz))
logx
pour tout E > O et x 2 2, avec une constante implicite absolue. Au total il existe
C (E) 2 O telle que
EX
C(E)X
+C a p « ~ ( 1 0 ~ 4 2 ,
P <
pour x 2 et tout E > O, la constante implicite étant absolue.
Par définition même, cela entraîne
quand x + +m.
COURS SPÉCJALISÉS 13