5.4. LE CRIBLE OSCILLANT DE DUKE-FNEDLANDER-IWANIEC
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puisque ]y, 1 « log x, et que log 21 « log x , le résultat est obtenu par le théorème de
la valeur moyenne.
La majoration (grossière)
nombre de facteurs premiers
utilisée pour y, provient du fait que y, < w(m), le
de m : le « pire cas » est quand
où u est maximal de sorte que m < x. On a alors
par le théorème des nombres premiers.
On peut écrire
avec Pnl < 1, lyml < 1, et Pn est supportée sur les nombres premiers, y, sur les m
sans facteurs premiers < W . Ces seules informations suffiront pour estimer B (x) (les
restrictions sur le support donnent des renseignements sur les normes el ou l2 de P
et y, et seront également techniquement utiles dans le Chapitre 7, surtout le fait que
pn soit supportée sur les nombres premiers).
En définitive, on peut donc énoncer le théorème suivant.
Théorhe 5.4.10 (Duke-Friedlander-Iwaniec). - Soit d = (a,) une suite de nombres
complexes tels que 1 a, 1 < T ( n ) pour tout n 2 1 . Soit x 2 1 et soient w , v , y, z des paramètres
tels que
Il existe alors des coefficients complexes a,, p, et y,, tels quq 1 an / < 1 , 1 Pn 1 < 1, 1 yn 1 < 1 )
p, est supportée sur les nombres premien, yn sur les nombres sans factetqs premiers > w, et tels
que
et les constantes implicites sont absolues.
SOCIÉTÉ~MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004