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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
À partir de cette définition on trouve directement
- < log 62
puisque z >, 1.
On vérifie de plus en calculant explicitement que
Cela donne en majorant trivialement
finalement en utilisant le théorème des accroissements finis on trouve aussi
pour t # O. Combinant ces trois estimations successives dans l'intégrale lg(t)ldt
pour It 1 < (log 6.2)-' , 1 tl 2 22 et dans la région intermédiaire, respectivement, on
trouve aisément
avec une constante implicite absolue.
La fonction h ( t ) = ( 2 ~ ) - ' ^ g ( i t )
satisfait donc aux conditions demandées.
Corollaire 5.4.9. - Il existe t E R tel que
pour x 3 2 , la constante implicite étant absolue, avec
Démonstration. - Il suffit d'utiliser le lemme pour écrire
0
avec
Comme