5.4. LE CRIBLE OSCILLANT DE DUKE-FRIEDLANDER-WANIEC
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(avec 1 Pn 1 < 1, et cette fonction supportée sur les nombres premiers), à ceci près que
la condition de sommation
p < p m < z
empêche m et n = p d'être des variables indépendantes.
Pour relaxer cette contrainte, on utilise une technique extrêmement standard dite
de « séparation des variables », qui consiste, grosso-modo, à décomposer en série
de Fourier (ou autre type d'harmoniques) la fonction caractéristique décrivant la
contrainte posée.
Pour ce faire, ici nous allons utiliser un lemme fort utile dYIwaniec, qui permet de
« lisser >> la contrainte de manière exacte !
Lemme 5.4.7. - Soit z 2 1 . Il existe une fonction continue h : R + C , dépendant de z,
telle que pour tout entiers 1 < a, b z , on a
JR h ( t ) (;)itdt = {
1 s i a < b
O sinon,
et telle que de plus
la constante implicite étant absolue.
Remarque 5.4.8. - On peut voir que la construction ci-dessous fournit h telle que
Démonstration. - Soit g : [O, +oo [ -+ [O, 11 telle que
( 0
sinon.
La fonction g est continue et pour a , b < z entiers, on a
1 s i a < b
4%) = { O sinon
(carsi a > b o n a a 2 b + l donc a/b 2 1 + l / b 2 1 + l / z ) .
D'autre part on peut &rire par transformée de Mellin (laquelle est holomorphe
pour R e ( s ) > -1)