CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
où pm = pm (m) est le plus petit diviseur premier de m et
Démonstration. - On a
Le second terme de cette égalité est le premier dans (5.36) :
Quand au premier, on a
On fait alors les remarques suivantes : si n < x apparaît dans la somme intérieure,
on a n = pqr avec r = 1 ou r premier. En effet, comme p > q 2 v 2 x1l4 (par (5.35)),
on a r < xl/*, et si r n'est pas premier, il a un diviseur premier < fi < x1j4 < q, ce
qui contredirait (n, P (q) ) = 1.
De plus, on a q < d l 3 , car sinon r > q > x ' / ~ et pqr = n > x. En particulier
\an/ < ~ ( n )
< 8 et il vient
ce qui donne
(car log z/ log q g 2) et le résultat.
La somme restante, que nous réécrivons
est presque une forme bilinéaire du type
où pm = pm (m) est le plus petit diviseur premier de m et
Démonstration. - On a
Le second terme de cette égalité est le premier dans (5.36) :
Quand au premier, on a
On fait alors les remarques suivantes : si n < x apparaît dans la somme intérieure,
on a n = pqr avec r = 1 ou r premier. En effet, comme p > q 2 v 2 x1l4 (par (5.35)),
on a r < xl/*, et si r n'est pas premier, il a un diviseur premier < fi < x1j4 < q, ce
qui contredirait (n, P (q) ) = 1.
De plus, on a q < d l 3 , car sinon r > q > x ' / ~ et pqr = n > x. En particulier
\an/ < ~ ( n )
< 8 et il vient
ce qui donne
(car log z/ log q g 2) et le résultat.
La somme restante, que nous réécrivons
est presque une forme bilinéaire du type