5.4. LE CRIBLE OSCILLANT DE DUKE-FRIEDLANDER-IWANIEC
(qf l'asymptotique plus précise 2.30)), pour en déduire
Dans cette dernière somme, les deux conditions, à savoir que d > y et que d 1 P(z)
a au plus un facteur premier 2 w, sont de nature différente : l'une est additive et
l'autre multiplicative. Il faut les exploiter toutes les deux, et pour ce faire on utilise
une astuce de Rankin : on va éliminer la condition d > y, qui n'est pas multiplicative,
après avoir préservé l'essentiel de l'information qu'elle fournit, à savoir que d est
« grand D.
Soit E > O un paramètre que l'on choisira ultérieurement. On écrit l'inégalité
puis en développant cette expression en produit eulérien
(utilisant encore (5.31) ) .
Soit E = (log w ) -' , de sorte que
log P
fiE = exp(-)
< e
log w
si fi < W . Il vient
tandis que
En employant encore l'inégalité 1 + x < ex et 2e < 7, on en déduit le résultat. C l
Il reste à traiter la somme des termes S (dpq, q) avec w < q < $ < z. De nouveau on
va distinguer suivant que q est grand ou petit ...
Lemme 5.4.6. - Soit v tel que
(5.35)
< v < ~ ~ 1 ~ .
X
log x
(5.36)
w SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004