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CHAPITRE 5.
Pour continuer de
on applique la même
CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
traiter ce terme
heuristique que lors de la construction du crible combinatoire
par itérations : si d > y, où y 2 z est un certain paramètre (penser au niveau D du
paragraphe précédent), on ne pourra faire mieux qu'une estimation triviale, mais
le nombre de termes devrait être assez petit pour limiter l'impact de ceux-ci. Pour
d < y, on obtient un terme d'erreur en moyenne que l'on considère comme une
forme linéaire à estimer ultérieurement.
Lemme 5.4.4. - Soit y 2 z . On a
Remarque 5.4.5. - Pourquoi parle-t-on de forme linéaire ? On a
avec ad le signe de C and, un nombre complexe de module 1. Si l'on considère cette
dernière expression comme une vraie forme linéaire ! en les variables (ad), il est clair
que la meilleure estimation possible de sa norme (au sens habituel) est
Noter que l'on peut aussi supposer que les ad sont supportés sur les entiers d sans
facteurs carrés.
Démonstration. - La majoration (5.34) est évidente (c'est l'analogue de la majoration
du reste dans le crible majorant par (5.13)).
Pour (5.33), on a par (5.31)
On utilise alors l'inégalité .r (nd) < .r (n) .r (d) pour tout n et d, et la majoration