5.4. LE CRIBLE OSCILLANT DE DUKE-FRIEDLANDER-IWANIEC
Démonstration. - L'identité de Buchstab, appliquée une première fois, donne
(la restriction fi 2 w, par rapport à la forme (5.19) ci-dessus, provenant du point
d'arrivée qui est S (d, w ) , donc déjà une suite criblée jusqu'en w ). Appliquant encore
cette identité, il vient
comme désiré.
O
Les deux sommes sont les embryons des formes linéaires et bilinéaires auxquelles
on va réduire la somme oscillante sur p < x. Pour qu'elles soient non triviales, il
faut que w ne soit pas simplement une constante, mais si l'on veut se ramener à
les estimer, il faut donc traiter S ( d , W ) . Pour cela on fait appel au crible exact de
Legendre : cela forcera à choisir w assez petit.
Lemme 5.4.3. - O n a
où, comme précédemment, on a posé
et C! indique une somme sur les entiers sans facteurs carrés ayant a u plus un facteur premier
3 W .
Démonstration. - Par le crible de Legendre on a pour tout w et fi
Si l'on somme sur p, w < p < z, le second terme, on obtient
où la somme est sur les d' 1 P(z) qui, par construction, ont exactement un facteur
premier fi 2 W .
La somme S ( d , w ) faisant intervenir les d 1 P (w ) , c'est-à-dire les d 1 P (z) n'ayant
aucun diviseur premier 2 w, on obtient le résultat en additionnant.
O
SOCIÉTÉ MATMÉMATIQUE DE FRANCE 2004