CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
Alors on a
log x
z a* = S ( K 2) +O(& log(-))
P 6 X
pour x 2 2, avec une constante implicite absolue.
Démonstration. - Par inclusion-exclusion il vient
car (n, P ( z ) ) = 1 implique que n < x a au plus deux facteurs premiers : si p 1 n, il
vient p 2 z > x1l3 et donc x 2 n = pqr avec p > q > r 2 z implique
d o n c r = 1.
Estimons la différence qui apparaît entre la somme sur et la somme criblée
jusqu'à z. On a
7
dx
= a y l + (al < 1 + 2 + j « -
P i
log z
par (5.31)' (5.32) et le théorème des nombres premiers. De plus (cf: (2.8) )
X
« - (log log fi - log log z)
log x
ce qui donne le résultat.
Si A est le paramètre tel que z = x'/~A-' , il vient donc
ap = s(&, z) + o(nw)
P< x
log x log Z
pour x 2 2, avec une constante implicite absolue. Le terme d'erreur est négligeable
devant x/ log x si on peut prendre A = xE , pour tout E > 0.
La valeur de z qu'il faut atteindre est encore trop grande en pratique. Pour diminuer le niveau du crible, on utilise l'identité de Buchstab ($ le Lemme 5.3.6) sous la
forme suivante.
Lemme 5.4.2. - On a pour tout w < x