5.4. LE CRIBLE OSCILLANT DE DUKE-FRIEDLANDER-IWANIEC
pour tout n 2 1. Il s'agit alors de démontrer le Théorème 1.4.5, c'est-à-dire
La première étape est de réduire le problème à des sommes sur les entiers au lieu
des nombres premiers. Il n'est cependant pas possible d'utiliser un énoncé de crible
tel que celui obtenu dans la section précédente puisque la suite d = (ph(n)) n'est
pas positive. Les idées et les manipulations seront cependant familières, et l'on peut
décrire le résultat qui va suivre comme un << crible asymptotique oscillant >>.
De tels résultats ont été démontrés d'abord par Vinogradov, lui permettant de
prouver, par exemple, l'équirépartition des parties fractionnaires (ap} pour ci & Q.
(Nous retrouverons d'ailleurs ce résultat dans la section suivante comme illustration
de la méthode de Duke-Friedlander-Iwaniec). L'idée principale de réduire le problème à deux types de sommes, formes linéaires et formes bilinéaires, est déjà présente chez Vinogradov.
Nous allons démontrer un résultat assez général, mais moins toutefois que celui
de [DF'I]. L'argument suit la présentation d'un cours donné par Iwaniec.
Soit d = (a,), n 2 1, une suite de nombres complexes. L'intérêt est le cas de a,
oscillant, et on fait l'hypothèse
(5.31)
la,[ < ~ ( n ) pour tout n 2 1
pour contrôler la taille individuelle des a,.
Noter que, d'après le théorème chinois et l'inégalité (ph (p) 1 < 2 pour tout p, ceci
est vérifié pour a, = ph (n) , h E Z.
On veut trouver des conditions, vérifiables en pratique, permettant de démontrer
que
cet objectif devant guider les différents choix de paramètres et la stratégie générale
ci-dessous.
Pour
où P(z)
Pour
x 2 1, z 2 1, on considère comme précédemment la somme criblée
S ( d , 2 ) =
C an,
n
est défini comme (5.1) avec 9 la suite de tous les nombres premiers.
que cela soit proche de la somme sur les p < x, il faut nécessairement que x
soit assez grand, très proche de x ' / ~ (on ne peut espérer prendre z = x1l2 dans les
applications.. . )
Lemme 5.4.1. - Supposons que
(5.32)
x ~ / ~
< L <
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
pour tout n 2 1. Il s'agit alors de démontrer le Théorème 1.4.5, c'est-à-dire
La première étape est de réduire le problème à des sommes sur les entiers au lieu
des nombres premiers. Il n'est cependant pas possible d'utiliser un énoncé de crible
tel que celui obtenu dans la section précédente puisque la suite d = (ph(n)) n'est
pas positive. Les idées et les manipulations seront cependant familières, et l'on peut
décrire le résultat qui va suivre comme un << crible asymptotique oscillant >>.
De tels résultats ont été démontrés d'abord par Vinogradov, lui permettant de
prouver, par exemple, l'équirépartition des parties fractionnaires (ap} pour ci & Q.
(Nous retrouverons d'ailleurs ce résultat dans la section suivante comme illustration
de la méthode de Duke-Friedlander-Iwaniec). L'idée principale de réduire le problème à deux types de sommes, formes linéaires et formes bilinéaires, est déjà présente chez Vinogradov.
Nous allons démontrer un résultat assez général, mais moins toutefois que celui
de [DF'I]. L'argument suit la présentation d'un cours donné par Iwaniec.
Soit d = (a,), n 2 1, une suite de nombres complexes. L'intérêt est le cas de a,
oscillant, et on fait l'hypothèse
(5.31)
la,[ < ~ ( n ) pour tout n 2 1
pour contrôler la taille individuelle des a,.
Noter que, d'après le théorème chinois et l'inégalité (ph (p) 1 < 2 pour tout p, ceci
est vérifié pour a, = ph (n) , h E Z.
On veut trouver des conditions, vérifiables en pratique, permettant de démontrer
que
cet objectif devant guider les différents choix de paramètres et la stratégie générale
ci-dessous.
Pour
où P(z)
Pour
x 2 1, z 2 1, on considère comme précédemment la somme criblée
S ( d , 2 ) =
C an,
n
est défini comme (5.1) avec 9 la suite de tous les nombres premiers.
que cela soit proche de la somme sur les p < x, il faut nécessairement que x
soit assez grand, très proche de x ' / ~ (on ne peut espérer prendre z = x1l2 dans les
applications.. . )
Lemme 5.4.1. - Supposons que
(5.32)
x ~ / ~
< L <
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