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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
En pratique, rd(x) est presque impossible à exprimer de manière manipulable,
et A+(d) est également assez opaque, mais dans une série de travaux remarquables,
Iwaniec [Iw2] est parvenu (dans le cas très important du crible linéaire, c'est-à-dire
pour x = 1) à obtenir une forme structurellement diffénte du terme d'erreur, prenant
l'aspect de formes bilinéaires
où MN = D et cc et P sont des fonction arithmétiques produites par la méthode
de crible choisie('), vérifiant lan/ < 1, p,l < 1. Le point essentiel est qu'il existe
de nombreuses techniques de théorie analytique des nombres permettant d'obtenir
des estimations pour ces formes bilinéaires qui permettent (souvent) de dépasser la
valeur de D classique >>.
L'exemple le plus fameux est celui de suites telles que an = A ( n - 2). Dans ce cas,
Fouvry et Iwaniec [FI] puis Bombieri-Friedlander-Iwaniec [BFI] sont parvenus à démontrer que le terme d'erreur dans le crible linéaire vérifie R ( d , z) «A x(log x) -A
pour tout A > O avec D plus grand que ce que permet même l'Hypothèse de Riemann
Généralisée appliquée directement, à savoir D = x9/17-E dans [FI] puis D = x4/'-'
dans [BFI] ( E > O quelconque). C'est un des grands succès de la théorie analytique
des nombres, puisqu'il va, inconditionnellement, plus loin que ce que l'on peut déduire directement de l'Hypothèse de Riemann Généralisée. Les preuves sont basées
sur des estimations profondes, dues à Deshouillers et Iwaniec [DIl], de sommes de
Kloosterman en moyenne, utilisant fondamentalement les formes modulaires, en particulier la formule de Kuznetsov (les Chapitres 6 et 7 contiennent une introduction à
ces idées ...)
5.4. Le crible oscillant de Duke-Friedlander-Iwaniec
Dans [DFI], le problème considéré est d'obtenir une majoration pour les sommes
de Weyl correspondant au problème de l'équirépartition des racines de congruences
quadratiques modulo p. Rappelons (cf: la Section 1.4) que P E Z[X] est un polynôme
quadratique irréductible à discriminant < O. Pour h E Z un entier fixé non nul, la
somme de Weyl correspondante est la somme oscillante sur les nombres premiers
ph(%!=
e(%)
P (v) =O (mod n)
( l ) ~ o u t e s
les variantes du crible ne permettent pas d'écrire ainsi le terme d'erreur; le p-crible est l'un de
ceux-là.
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
En pratique, rd(x) est presque impossible à exprimer de manière manipulable,
et A+(d) est également assez opaque, mais dans une série de travaux remarquables,
Iwaniec [Iw2] est parvenu (dans le cas très important du crible linéaire, c'est-à-dire
pour x = 1) à obtenir une forme structurellement diffénte du terme d'erreur, prenant
l'aspect de formes bilinéaires
où MN = D et cc et P sont des fonction arithmétiques produites par la méthode
de crible choisie('), vérifiant lan/ < 1, p,l < 1. Le point essentiel est qu'il existe
de nombreuses techniques de théorie analytique des nombres permettant d'obtenir
des estimations pour ces formes bilinéaires qui permettent (souvent) de dépasser la
valeur de D classique >>.
L'exemple le plus fameux est celui de suites telles que an = A ( n - 2). Dans ce cas,
Fouvry et Iwaniec [FI] puis Bombieri-Friedlander-Iwaniec [BFI] sont parvenus à démontrer que le terme d'erreur dans le crible linéaire vérifie R ( d , z) «A x(log x) -A
pour tout A > O avec D plus grand que ce que permet même l'Hypothèse de Riemann
Généralisée appliquée directement, à savoir D = x9/17-E dans [FI] puis D = x4/'-'
dans [BFI] ( E > O quelconque). C'est un des grands succès de la théorie analytique
des nombres, puisqu'il va, inconditionnellement, plus loin que ce que l'on peut déduire directement de l'Hypothèse de Riemann Généralisée. Les preuves sont basées
sur des estimations profondes, dues à Deshouillers et Iwaniec [DIl], de sommes de
Kloosterman en moyenne, utilisant fondamentalement les formes modulaires, en particulier la formule de Kuznetsov (les Chapitres 6 et 7 contiennent une introduction à
ces idées ...)
5.4. Le crible oscillant de Duke-Friedlander-Iwaniec
Dans [DFI], le problème considéré est d'obtenir une majoration pour les sommes
de Weyl correspondant au problème de l'équirépartition des racines de congruences
quadratiques modulo p. Rappelons (cf: la Section 1.4) que P E Z[X] est un polynôme
quadratique irréductible à discriminant < O. Pour h E Z un entier fixé non nul, la
somme de Weyl correspondante est la somme oscillante sur les nombres premiers
ph(%!=
e(%)
P (v) =O (mod n)
( l ) ~ o u t e s
les variantes du crible ne permettent pas d'écrire ainsi le terme d'erreur; le p-crible est l'un de
ceux-là.
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