5.3. UN CRIBLE COMBINATOIRE SIMPLE
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Exercice 5.3.15. - Cet exercice est la suite des Exercices 5.3.9 et 5.3.13. On considère
la suite a, fonction caractéristique des entiers de la forme n(n - 2), n 2 3.
(1) Démontrer que pour d sans facteurs carrés, x 2 1 et d 2 1 on a
avec X = x ' / ~ ,
et g multiplicative telle que g(2) = 1 et g(p) = 2 pour p > 2.
(2) Démontrer que g correspond à un crible de dimension 2.
(3) En déduire en utilisant un fi crible minorant ad hoc qu'il existe une infinité
d'entiers n tel que n et n - 2 aient chacun au plus 23 facteurs premiers (avec multiplicité).
(4) En utilisant plutôt la suite a, = A ( n - 2) et le théorème de BombieriVinogradov (cf: Exemple 5.3.11, (3)), démontrer qu'il existe une infinité de nombres
premiers p tel que - 2 a au plus 23 facteurs premiers.
Remarque 5.3.16. - Les méthodes de crible peuvent paraître difficile, à première
vue, malgré leur aspect élémentaire, en raison du grand nombre de paramètres qui
apparaissent. L'exemple ci-dessus illustre bien leur dépendance logique dans les applications. La suite d étant donnée, la dimension x devient fixée (car l'approximation (5.8) n'admet pas de variation en pratique).
Le niveau D du crible est plus ou moins imposé, pragmatiquement, par le
contrôle que l'on a du terme d'erreur rd(x) en moyenne sur d < D : on espère
pouvoir prendre D aussi grand que possible, mais il s'agit d'un problème très délicat
(cf: Exemple 5.3.11, particulièrement (3) ) .
Si D est donné, la Proposition 5.3.12 donne une majoration de S ( d , z) pour z
assez petit, z < D'/S où s est relié à la dimension x (et au type de crible choisi,
via 6 ici; le fi-crible, ou le crible de Selberg, n'imposeraient pas forcément la même
condition sur s). Si D est une puissance de x, on peut donc prendre z également
comme une puissance assez petite de x.
Les développements des méthodes de crible << classiques >> ont porté sur l7amélioration du choix du crible, d'une part, mais aussi, et peut-être plus significativement
pour les applications, par des transformations destinées à autoriser de plus grands
choix de D (le premier facteur limitant, on l'a vu) par un traitement non trivial du
terme d'erreur : au lieu de majorer
on voudrait pouvoir exploiter les éventuels changements de signe de h+ (d)rd (x) , qui n'a
en général aucune raison d'être constant : d'après le principe heuristique de compensation des sommes oscillantes, on devrait ainsi pouvoir accroître considérablement les
valeurs de D permises. (Noter que A+(d) est, au moins pour d assez petit, proche de
la fonction de Mobius, et donc devrait changer de signe très aléatoirement).
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004
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Exercice 5.3.15. - Cet exercice est la suite des Exercices 5.3.9 et 5.3.13. On considère
la suite a, fonction caractéristique des entiers de la forme n(n - 2), n 2 3.
(1) Démontrer que pour d sans facteurs carrés, x 2 1 et d 2 1 on a
avec X = x ' / ~ ,
et g multiplicative telle que g(2) = 1 et g(p) = 2 pour p > 2.
(2) Démontrer que g correspond à un crible de dimension 2.
(3) En déduire en utilisant un fi crible minorant ad hoc qu'il existe une infinité
d'entiers n tel que n et n - 2 aient chacun au plus 23 facteurs premiers (avec multiplicité).
(4) En utilisant plutôt la suite a, = A ( n - 2) et le théorème de BombieriVinogradov (cf: Exemple 5.3.11, (3)), démontrer qu'il existe une infinité de nombres
premiers p tel que - 2 a au plus 23 facteurs premiers.
Remarque 5.3.16. - Les méthodes de crible peuvent paraître difficile, à première
vue, malgré leur aspect élémentaire, en raison du grand nombre de paramètres qui
apparaissent. L'exemple ci-dessus illustre bien leur dépendance logique dans les applications. La suite d étant donnée, la dimension x devient fixée (car l'approximation (5.8) n'admet pas de variation en pratique).
Le niveau D du crible est plus ou moins imposé, pragmatiquement, par le
contrôle que l'on a du terme d'erreur rd(x) en moyenne sur d < D : on espère
pouvoir prendre D aussi grand que possible, mais il s'agit d'un problème très délicat
(cf: Exemple 5.3.11, particulièrement (3) ) .
Si D est donné, la Proposition 5.3.12 donne une majoration de S ( d , z) pour z
assez petit, z < D'/S où s est relié à la dimension x (et au type de crible choisi,
via 6 ici; le fi-crible, ou le crible de Selberg, n'imposeraient pas forcément la même
condition sur s). Si D est une puissance de x, on peut donc prendre z également
comme une puissance assez petite de x.
Les développements des méthodes de crible << classiques >> ont porté sur l7amélioration du choix du crible, d'une part, mais aussi, et peut-être plus significativement
pour les applications, par des transformations destinées à autoriser de plus grands
choix de D (le premier facteur limitant, on l'a vu) par un traitement non trivial du
terme d'erreur : au lieu de majorer
on voudrait pouvoir exploiter les éventuels changements de signe de h+ (d)rd (x) , qui n'a
en général aucune raison d'être constant : d'après le principe heuristique de compensation des sommes oscillantes, on devrait ainsi pouvoir accroître considérablement les
valeurs de D permises. (Noter que A+(d) est, au moins pour d assez petit, proche de
la fonction de Mobius, et donc devrait changer de signe très aléatoirement).
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004