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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
Exemple 5.3.14. - On va démontrer l'inégalité de Brun-Titchmarsh sous la forme du
Corollaire 4.5.2. Soit q 2 1 et (a, q) = 1. Considérons la suite
1 si n = a (mod q)
O sinon.
On cherche d'abord l'approximation (5.8) pour Ad (x) . Pour d > 1, on voit
que Ad(x) est le nombre d'entiers n < x qui sont divisibles par d et = a (modq).
Or d 1 qn + a si et seulement si n est, modulo d, une racine de l'équation linéaire
qX + a=O.
Cela permet d'écrire, pour d 2 1 fixé
Ad(x) = C I{n< (x-a)/q 1 n-a(modd)}l
u (mod d)
qa+d=O
avec X = x/q et g(d) = /{a (mod d) 1 qcc + a = O} 1. La fonction g est multiplicative
d'après le théorème chinois, et vérifie
g(fi> =
1 siPI(q
O sinon,
car (a, q) = 1.
Le terme d'erreur rd (x) satisfait, d'après ce qui précède
La suite d est de plus de dimension < 1. Soit 6 = 6/7, pour z =
avec
s 2 12, on peut appliquer la Proposition 5.3.12, utilisant la monotonie de S ( d , z)
pour écrire
d'où
et en prenant D = (x/q) '-&, donc z = ( x / ~ ) ('+) , il vient
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