5.3. UN CRIBLE COMBINATOIRE SIMPLE
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Démonstration. - Il suffit d'après les propriétés du crible majorant de majorer V + ( 2 ) .
Pour tout i , on a par (5.30)
log z
v(yi) < KV ( 2 ) (j----)'
< KV (z)G-".
Og Yi
Écrivons 8-' = 1 + (bx)-', de sorte que b 2 1 devient un nouveau paramètre du
crible. L'inégalité 1 + x < ex démontre que
V (yi) < KV ( 2 ) ei/b.
Prenant le logarithme puis faisant la somme sur i à partir de (5.2'7)' on obtient
Ti, ( r ) < KV ( z ) (i!)-'e~'~ (log K +
logKb i
< KV ( z ) (i!)-lei/b ( i ) i ( l + T)
Puisque i! 2 e(i/e)', on trouve
Ti, ( z ) < e-'Kb+'V (z)ai
avec a = b-' exp(1 + b-').
Si l'on choisit b assez grand, c'est-à-dire 8 assez proche de 1 , on a a < 1 , et la série
sur i 2 1 intervenant dans (5.25) converge, d'où
v+(z) < V ( z ) { l + ae-'K"' ( 1 - a)-'}.
Par exemple b = 6 donne ae-' (1 - a)-' < 1 , d'où le résultat d'après (5.10).
O
Exercice 5.3.13. - Le P-crible permet d'améliorer la majoration de manière à ce que
le coefficient 1 + K7 soit remplacé par une quantité tendant vers 1 si s est assez
grand, ce qui est particulièrement important pour le crible minorant. Cet exercice
est la continuation de l'Exercice 5.3.9.
(1) Dans la situation du P-crible pour s > P, démontrer que
Ti, ( z ) < Kb+'V ( z ) (i!)-'ai
où b est tel que p = xb + 1 et a = b-le1+"'.
(2) Démontrer que V, ( z ) = O pour i < s - p. [Indication : Démontrer que
2 y dans la somme définissant Ti, (x) .]
(3) En déduire que
a ~ - P
C Ti,@) < - - -
e ( l - a )
Kb+' v ( r ) ,
i >O