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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
pour 2 < a < b avec une constante absolue, de sorte que cette suite est de dimension
6 1.
(2) Similairement, si g vérifie
C g(P) (%P) = xlogb + QU)
P pour b >, 2 (ce qui s'interprète en disant que g(p) est environ x/p en moyenne), on
déduit que g est de dimension 6 x par sommation par partie.
(3) Soit a, = A(n - 2), de sorte que
compte essentiellement (avec un poids logarithmique) les nombres premiers fl 6 x
tels que - 2 est premier. On a donc
Le Théorème de Siegel-Walfisz (Corollaire 4.3.4) donne
Ad (x) = g (d) X + rd (x)
avec g(d) = y(d)-', x = x et rd(x) « x / ( ~ o g x ) ~
pour tout A > O, la constante étant
ineffective.
La fonction g est de dimension < 1 car
pour b 2 1.
La majoration individuelle du reste T d ( x ) pour d < D n'est plus bonne si, par
exemple, D = xE avec E > O, mais pour ce qui concerne le crible, on peut utiliser à la
place le théorème de Bombieri-Vinogradov (Théorème 4.4.1) pour obtenir un bien
meilleur résultat en moyenne
pour tout A et tout D < x ' / ~ (log
(6 (5.13) et (5.15)).
Le résultat suivant est souvent appelé le << lemme fondamental >> (pour une méthode de crible donnée).
Proposition 5.3.12. - Soit d une suite de dimension < x. Soit D > O, soit 8 tel que
8-' = 1 + (6x)-', soit s >, 28(1 - g2)-', z = D'/'. Alors on a
pour le 8 -crible de niveau D .
COURS SPÉCWLISÉS 13