5.3. UN CRIBLE COMBINATOIRE SIMPLE
en utilisant l'inégalité
Exercice 5.3.9. - Soit A+ le P-crible donné par (5.21), et 6 = 1 - P-' . Notons zi le
paramètre de troncation du &crible correspondant, ,q = D s - l S i .
(1) Soit i 2 1 fixé. Démontrer que si pl . . .pi intervient dans V,(z), on a
pour tout j < i, indépendamment de la parité. [Indication : Considérer séparément
le cas où i et j ont même parité et l'opposé.]
(2) Démontrer que si pl . . .pi vérifie (5.28) et si s 2 P, alors fi; 2 zi. [Indication :
Démontrer par récurrence que pour j < i on a
et appliquer cela pour j = i - 1 ainsi que pi 2 yi .]
(3) En déduire que pour le P-crible on a
V (xi)
V (zi) i
K (z) < 2 ! (log -) -
v (2)
Pour aller plus avant, il devient absolument nécessaire de faire des hypothèses sur
la fonction d'approximation g(d), c'est-à-dire sur la répartition de d dans les soussuites d d .
Dé'nitàon 5.3.10. - La suite d , ou la fonction g(d) , est de dimension < u, où x > O
est un réel, s'il existe K > 1 telle que
pour tout 2 < a < b.
Exemple 5.3.11
(1) Soit a, = 1, 9 l'ensemble de tous les nombres premiers. On prend alors
g(d) = l / d et il vient
V(a) = n (1 -P-') =
P log a
par la formule de Mertens, donc
V(a)
log b
<< -
V ( b ) loga