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CHAPITRE 5 . CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
L'approche la plus simple du (3-crible décrit par (5.21) revient d'ailleurs à le << comparer >> à ce cas particulier avec 6 = 1 - P-' < 1, cf. les exercices ci-dessous.
Lemme 5.3.7. - Si s > -, les 6 -cribles majorant et minorant donnés par (5.24) sont de
1-s2
niveau D , c ést-à-dire que si d E 9 ' , on a d < D .
E n particulier, si 6 < 1 est$xé, le 6 -crible est de niveau 1) pour tout s assez grand.
Démonstration. - Traitons le cas du crible majorant, l'autre étant similaire (d'après
laremarque déjàfaite que si d = f i E 9- on a p < z < D).
On a pour j pair la majoration pj < &+l < yj+l, et donc
s-lc~
p i . . . p i
si i est pair (le produit sur les Yi d'indice impair), et
P i . . . p i < y ~ . . * Y ~ 2 Y i =
D""
~ ~ ~ ~ ( 3 = 2 ( 6 + . . . + ~ " ~ )
+si,
sinon. Dans les deux cas, le résultat découle de la majoration
sous l'hypothèse annoncée.
On a d ' a ~ r è s le Lemme 5.3.5
Lemme 5.3.8. -
(5.27)
pour tout i 2 1
Démonstration. . Par définition
Comme g > O et V (z) 2 O pour tout z, on peut relaxer les conditions de sommations pour élargir l'ensemble des valeurs de $1 . a .pi incluses. On abandonne alors
toute les restrictions sauf Yi < pi et donc
car z H V (z) est décroissante. On remarque alors que
COURS SPÉCIALISÉS 13
CHAPITRE 5 . CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
L'approche la plus simple du (3-crible décrit par (5.21) revient d'ailleurs à le << comparer >> à ce cas particulier avec 6 = 1 - P-' < 1, cf. les exercices ci-dessous.
Lemme 5.3.7. - Si s > -, les 6 -cribles majorant et minorant donnés par (5.24) sont de
1-s2
niveau D , c ést-à-dire que si d E 9 ' , on a d < D .
E n particulier, si 6 < 1 est$xé, le 6 -crible est de niveau 1) pour tout s assez grand.
Démonstration. - Traitons le cas du crible majorant, l'autre étant similaire (d'après
laremarque déjàfaite que si d = f i E 9- on a p < z < D).
On a pour j pair la majoration pj < &+l < yj+l, et donc
s-lc~
p i . . . p i
si i est pair (le produit sur les Yi d'indice impair), et
P i . . . p i < y ~ . . * Y ~ 2 Y i =
D""
~ ~ ~ ~ ( 3 = 2 ( 6 + . . . + ~ " ~ )
+si,
sinon. Dans les deux cas, le résultat découle de la majoration
sous l'hypothèse annoncée.
On a d ' a ~ r è s le Lemme 5.3.5
Lemme 5.3.8. -
(5.27)
pour tout i 2 1
Démonstration. . Par définition
Comme g > O et V (z) 2 O pour tout z, on peut relaxer les conditions de sommations pour élargir l'ensemble des valeurs de $1 . a .pi incluses. On abandonne alors
toute les restrictions sauf Yi < pi et donc
car z H V (z) est décroissante. On remarque alors que
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